Изучение электрических полей, созданных точечными и равномерно распределенными зарядами, с помощью электронного учебника «Открытая физика» и математического пакета Maple

Запустите электронный учебник Открытая физика (версия 2.6) часть 2 и откройте в Содержании разделы “Электрическое поле. 1.1. Электрический заряд. Закон Кулона” “1.2. Электрическое поле”. Ознакомьтесь с теоретическим материалом, в конце раздела 1.2 щелкните по изображению модели электрического поля точечных зарядов (рис. 1.7). Модель позволяет увидеть картину линий напряженности и эквипотенциальных линий. Захватите картину с экрана одновременным нажатием клавиш Alt и PrtScr (например, так: клавиша Alt нажата и удерживается, клавиша PrtScr нажимается один раз). Откройте новый документ текстового редактора Open Office.org Writer (или Word), вставьте изображение из буфера, сделайте пояснительную надпись, сохраните документ в папку с фамилиями студентов, входящих в бригаду. Такая папка должна находиться в папке с названием группы, а та – в папке с названием факультета в папке Student на диске D компьютера. Не закрывайте документ. Изменяя знаки и величины зарядов, а также расстояния между ними получите еще три картины силовых линий и включите их в документ.

Откройте в Содержании разделы “Электрическое поле. 1.4. Работа в электрическом поле. Потенциал”, “1.5. Проводники и диэлектрики в электрическом поле”, “1.6. Электроемкость. Конденсаторы”. Ознакомьтесь с теоретическим материалом, в конце раздела 1.6 щелкните по изображению модели поля плоского конденсатора (рис. 1.8). Модель позволяет увидеть картину линий напряженности и эквипотенциальных линий, подобную получаемой в данной работе с двумя плоскими электродами. Поле равномерно заряженной плоскости может быть найдено с помощью принципа суперпозиции

,                                            (1.35)

где  – вектора напряженности электрического поля, созданные отдельными точечными зарядами или зарядами в малых элементах равномерно заряженных тел.

Рис. 1.7. Компьютерная модель электрического поля точечных зарядов

Рис. 1.8. Компьютерная модель электрического поля плоского конденсатора

Изучение эквипотенциальных линий и линий напряженности поля системы трех и более точечных зарядов можно выполнить с помощью математического пакета Maple. Для этого запустите программу Maple (бесплатную версию Campus Wide Version Maple V R4), введите программу:

with(plots):

> pic1:=gradplot( -10*(((x-1)^2+y^2+0.1)^(-/2)+2*((x+1)^2+y^2+0.1)^(-1/2)-((y-1)^2+x^2+0.1)^(-1/2)-((y+1)^2+x^2+0.1)^(-1/2)),x=-2..2,y=-2..2,grid=[20,20]);

> pic2:=contourplot(-10*(((x-1)^2+y^2+0.1)^(-1/2)+2*((x+1)^2+y^2+0.1)^(-1/2)-((y-1)^2+x^2+0.1)^(-1/2)-((y+1)^2+x^2+0.1)^(-1/2)),x=-2..2,y=-2..2,grid=[100,100]);

> display([pic1,pic2]);

Координаты зарядов ( , выделены жирным шрифтом) и 0. Результат показан на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Компьютерная модель электрического поля четырех зарядов

Контрольные вопросы

1. Дайте определения электрического и электростатического полей и их характеристик (силовой и энергетической).

2. Поясните, как выражается сила, действующая на заряд в электростатическом поле.

3. Поясните формулы для определения напряжённости и потенциала поля точечного заряда.

4. Объясните, какова связь между напряжённостью и потенциалом.

5. Объясните физический смысл градиента потенциала.

6. Расскажите о графическом изображении электростатических полей.

7. Поясните теорему Гаусса для напряженности электростатического поля и плотности тока.

8. Дайте определение дивергенции напряженности электрического поля. Как она выражается в декартовых координатах для двумерного (плоского) и трехмерного случаев.

9. Поясните уравнение Лапласа для потенциала электростатического поля.

Лабораторная работа № 2.2
ЗАКОН ОМА И ПРАВИЛА КИРХГОФА ДЛЯ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ

Цель работы: изучение закона Ома и закрепление навыков расчета разветвленных электрических цепей при помощи правил Кирхгофа.

Приборы и принадлежности: лабораторный стенд, комплект соединительных проводов, цифровые мультиметры.

Литература:[1-4]

План работы:

1. Изучение закона Ома.

2. Изучение правил Кирхгофа.

3. Проверка закона Ома для участка цепи и измерение внутренних сопротивлений источников тока.

4. Нахождение токов в разветвленной цепи.

5. Изучение темы «Правила Кирхгофа для разветвленных цепей» с помощью программы «Открытая физика».

Закон Ома

Закон Ома для однородного участка цепи (участка не содержащего э.д.с.) (рис. 2.1а) был установлен экспериментально в 1826 г. и обоснован теоретически в 1827 г. немецким физиком Г. Омом. Согласно закону, сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника. Тогда можно записать:

,                                    (2.1)

где  – сила тока,  – электрическое сопротивление проводника,  – разность потенциалов,  – напряжение.

а                                        б

Рис. 2.1. Участки электрической цепи.

а – однородный, б – неоднородный

Закон Ома для неоднородного участка цепи (рис. 2.1б) (обобщенный закон Ома) можно записать в виде:

,                                   (2.2)

где  – электродвижущая сила. Этот закон выражает закон сохранения и превращения энергии применительно к участку цепи электрического тока. Он в равной мере справедлив как для участков электрической цепи, не содержащих источников электрической энергии, так и для участков, содержащих указанные источники.

Э.д.с. как и сила тока, величина скалярная. Поэтому, пользуясь обобщенным законом Ома, нужно соблюдать следующее правило знаков для э.д.с. источников, включенных на участке 1–2: если э.д.с. способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении то берется знак «+», если нет – « - ». Так на рис. 2.1б e > 0 если потенциал в точке 1 больше, чем в точке 2.

Во всех сечениях неразветвленной замкнутой электрической цепи (рис. 2.2) сила тока одинакова. Такую цепь можно рассматривать как участок, концы которого (точки 1 и 2) совпадают, так что =  и R12 = R – сопротивление всей цепи. Поэтому закон Ома для замкнутой цепи имеет вид

Рис. 2.2. Замкнутая электрическая цепь

.                                              (2.3)

Пусть замкнутая цепь состоит из источника тока с э.д.с. e и внутренним сопротивлением r, а также внешней части цепи, имеющей сопротивление R. Тогда сила тока в цепи по закону Ома:

.                                              (2.4)

Разность потенциалов на электродах источника тока равна напряжению на внешней части цепи:

.                                      (2.5)

Если цепь разомкнуть, то ток в ней прекратится и, как видно из (2.5), разность потенциалов на клеммах источника будет равна его э.д.с. Следовательно, для того чтобы найти э.д.с. источника тока, надо измерить разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой цепи.

Правила Кирхгофа

Обобщенный закон Ома позволяет рассчитать практически любую сложную электрическую цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров при использовании только закона Ома довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил Кирхгофа[2].

Для пояснения правил дадим определение узла. Любая точка электрической цепи, в которой сходятся три и более проводника с током называется узлом. Ток, входящий в узел, считается положительным, выходящий из узла – отрицательным (пример – узел А на рис. 2.3.).

Рис. 2.3. Узел электрической цепи

Первое правило Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю:

,                                           (2.6)

например, для узла А (на рис. 2.3):

.                             (2.7)

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвленных цепей. Замкнутый участок электрической цепи, называется контуром. Так на схеме, изображенной на рис. 2.5 таких контуров три: ABEFA, BCDEB, ABCDEFA.

Второе правило Кирхгофагласит: для любого произвольно выбранного контура в разветвленной электрической цепи алгебраическая сумма произведений сил токов  на сопротивления  соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. e_к, действующих в этом контуре:

.                                   (2.8)

Например, в случае обхода по часовой стрелке замкнутого контура ABCDA (рис. 2.4) второе правило Кирхгофа имеет следующий вид:

            (2.9)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться. Произведение  положительно, если ток на данном участке цепи совпадает с направлением обхода контура, и наоборот; э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода считаются положительными, против – отрицательными.

3. Составить столько же уравнений, сколько было введено неизвестных токов (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах. По первому правилу Кирхгофа составляется число уравнений на 1 меньше числа узлов. Остальные уравнения – по второму правилу.

Рассмотрим пример расчета токов с использованием правил Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 2.5.

.Используем первое правило Кирхгофа для узла В:

.                                 (2.10)

Принимая, что внутренние сопротивления источников тока r₁ и r₂ намного меньше, чем сопротивления R₁, R_2, R₃, пренебрежем ими. Применим второе правило Кирхгофа к контурам ABEFA и BCDEB:

     (2.11)

    (2.12)

В результате получим систему трёх уравнений (2.10)-(2.12) с тремя неизвестными . Подобные системы линейных уравнений можно решать аналитически или на компьютере с помощью математического пакета Maple (см. Рис. 2.6).

Рис. 2.6. Пример расчета сложной электрической цепи в пакете Maple

Решая систему уравнений (2.10), (2.11) и (2.12) относительно токов, получим формулы для нахождения токов:

                                 (2.13)

                               (2.14)

                                  (2.15)