Соединенными резистором  и катушкой индуктивности

Пусть цепь, показанная на рис. 9.1, включается на постоянное напряжение U.

В электротехнической практике это может быть подключение к источнику постоянного напряжения электромагнитов, реле, электрических машин постоянного тока и других электромагнитных устройств. После коммутации в цепи возникает переходный процесс, во время которого все электрические величины будут изменяться до своего установившегося значения.

Уравнение электрического состояния цепи после замыкания ключа, записанное относительно тока, имеет вид                      .

Решение этого уравнения находят в виде суммы частного решения неоднородного (принужденная составляющая) и общего решения однородного (свободная составляющая) уравнений: i(t)= i_пр(t) +i_св(t).

Для определения принужденного значения искомого тока необходимо рассчитать ток цепи в установившемся послекоммутационном режиме. Применительно к рассматриваемой цепи принужденный ток        i_пр(t)=U/R,

так как индуктивное сопротивление катушки постоянному току равно нулю.

Для определения свободной составляющей необходимо найти корни характеристического уравнения, которое получают путем замены в однородном дифференциальном уравнении первой производной тока на р, а самой функции тока на р⁰, то есть на единицу:  pL+R = 0, тогда p = -R/L.

Характеристическое уравнение имеет один корень, поэтому свободная составляющая будет состоять из одного слагаемого и выражение для переходного тока записывают в виде:              i(t)= U / R+ Ae^pt = .

Для определения постоянной интегрирования А рассмотрим искомую функцию в момент времени t=0:  

     i(0+) = U/R +A.

В докоммутационной схеме ток индуктивности был равен нулю, так как цепь была  отключена от  источника  энергии. Тогда согласно первому закону коммутации     

     i(0+) = i_L(0+) = i_L(0-) = 0.

Постоянная интегрирования определяем из уравнения              i(0+)= U/R+ A или 0 = U/R+ A,

откуда       А= -U/R.

Искомая функция переходного тока будет иметь вид

Напряжение на резистивном элементе цепи с сопротивлением R находим по закону Ома:

Напряжение на индуктивном элементе с индуктивностью L находим:

     .

Кривые изменения переходных токов и напряжений показаны на рис. 9.2 и 9.3 соответственно.

Свободную составляющую тока удобно представлять в виде                 

где τ = имеет размерность времени и называют постоянной времени переходного процесса. Постоянная времени имеет физический и геометрический смысл.

Физический смысл постоянной времени τ - это время, в течение которого свободная составляющая, затухая, уменьшается в е раз по сравнению со своим предыдущим значением. Например,   для времени t = τ

Геометрический смысл постоянной времени τ - постоянная времени численно равна длине любой подкасательной (рис. 9.2). Для графического определения τ проводят касательную к кривой свободной составляющей любой электрической величины в любой точке, и на оси времени находят подкасательную.

Переходный процесс можно считать практически завершенным через промежуток времени t = 3÷5τ, а теоретически он длится бесконечно долго, так как экспонента свободной составляющей никогда не пересечет ось времени.         

Переходный процесс в цепи с последовательно