Дискретная случайная величина

Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти: а) математическое ожидание М(Х);

       б) дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s (Х);

        в) составить функцию распределения F(х) и построить её график.

Решение:

а) по формуле    находим математическое ожидание Х: М(Х) = 2 × 0,2 + 4 × 0,1 + 5 × 0,3 + 7 × 0,4 = 5,1;

б) по формулам      D(Х) = M (Х²)  - [ M(Х)]² и  найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

 = 2² × 0,2 + 4² × 0,1 + 5² × 0,3 + 7² × 0,4 = 29,5.

D(Х) = 29,5 - (5,1)² = 3,49 ; s(Х) =   = 1,87;

в) по определению F(x) = P(X < x ) , т.е. F(x) есть вероятность того, что случайная X примет значение меньше, чем х.

Если х £ 2, то F(x) = P(X < 2) = 0.

Если 2 < x £ 4, то F(x) = P(X < 4) = P(X=2) = 0,2.

Если 4< x £ 5, то F(x) = P(Х < 5) = P(X=2)+(X=4) = 0,2+0,1 = 0,3.

Если 5< x £ 7, то F(x) = P(Х<7)= P(X=2)+P(X=4)+P(X=5)=0,2+0,1+0,3 = 0,6.

Если  x>7, то F(x) = P(Х<7) = P(X=2) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=7) =            = 0,2+0,1+0,3+0,4 = 1.

Построим график F(x):

Пример 2.  В магазине куплено 3 электроприбора: чайник, утюг и пылесос. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для каждого из них соответственно равны р₁=0,05, р₂=0,1, р₃ = 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х – числа приборов, вышедших из строя в течение гарантийного срока.

Решение: Х – число приборов, вышедших из строя, имеет следующие возможные значения:

х₁=0 – все три прибора не выйдут из строя в течение гарантийного срока;

х₂=1 – один прибор выйдет из строя;

х₃=2 – два прибора выйдут из строя;

х₄=3 – три прибора выйдут из строя.

    Найдём соответствующие этим значениям вероятности. По условию вероятности выхода из строя приборов равны:

р₁=0,05; р₂=0,1; р₃=0,2, тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока равны:

q₁ = 1 – p₁ = 1 – 0,05 = 0,95; q₂ = 1 - p₂ = 1 – 0,1 = 0,9; q₃ = 1 – p₃ = 1 – 0,2 = 0,8.

P₁ (X=0) = q₁ ∙ q₂ ∙ q₃ = 0,95 ∙ 0,9 ∙ 0,8 = 0,684.

P₂ (X=1) = q₁ ∙ q₂ ∙ p₃ + q₁ ∙ p₂ ∙ q₃ + p₁ ∙ q₂ ∙ q₃ = 0,95 ∙ 0,9 ∙ 0,2 + 0,95 ∙ 0,1 ∙ 0,8 + 0,05 ∙ 0,9 ∙ 0,8 = 0,283.

P₃ (X=2) = p₁ ∙ p₂ ∙ q₃ + p₁ ∙ q₂ ∙ p₃ + q₁ ∙ p₂ ∙ p₃ = 0,05 ∙ 0,1 ∙ 0,8 + 0,05 ∙ 0,9 0,2 + 0,95 ∙ 0,1 ∙ 0,2 = 0,032.

P₄ (X=3) = p₁ ∙ p₂ ∙ p₃ = 0,05 ∙ 0,1 ∙ 0,2 = 0,001.

Проверка: P=P₁(X=0)+P₂(X=1)+P₃(X=2)+P₄(X=3)=0,684+0,283+0,032+0,001= 1

Закон распределения имеет вид:

Пример 3.  Предприятие выпускает 90% изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины Х – числа изделий высшего сорта из трёх, взятых наудачу изделий. Найти M(X), D(X), s(Х).

Решение: Случайная величина Х – число изделий высшего сорта среди трёх отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3.                                                                       Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

P_n(X=m) = C_n^m p^m q^n-m , такое распределение называют биноминальным.

Известно, что n = 3 ; p = 0,9; q = 0,1; m = 0,1,2,3, тогда

P₁(X=0) = (0,1)³ = 0,001.

P₂(X=1) = C₃¹ ∙ 0,9¹ ∙ 0,1² = 0,027.

P₃(X=2) = C₃² ∙ 0,9² ∙ 0,1 = 0,243.

P₄(X=3) = 0,9³ = 0,729.

    Проверка:

Р= Р₃(Х=0)+Р₃(Х=1)+Р₃(Х=2)+Р₃(Х=3)= 0,001+0,027+0,243 +0,729 = 1.

Закон распределения случайной величины Х:

 

X	0	1	2	3
P	0,001	0,027	0,243	0,729

M(X), D(X), s (X)   случайной величины, распределённой по биноминальному закону, находятся по формулам:

M(X) = np ,                D(X) = npq ,                    s (X) = .

M(X) = 3 ∙ 0,9 = 2,7;   D(X) = 3 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 0,27; s (X) =  = 0,53.

    Пример 4. На сборку поступило 30 деталей, из них 25 стандартных. Сборщик берёт наудачу 3 детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трёх отобранных.

    Решение: Возможные значения случайной величины Х:

Х₁ = 0, Х₂ = 1, Х₃ = 2, Х₄ = 3.

Вероятности этих значений вычисляются по формуле                       Р_n(Х=m) = ,

где n – число элементов множества,

s – число элементов множества, обладающих фиксированным свойством;

r – число отобранных элементов;

m=  – число элементов с фиксированным свойством, оказавшихся в выборке.  Такое распределение называют гипергеометрическим.

P₃(X = 0) = .                    P₃(X = 1) = .

P₃(X = 2) = .                     P₃(X = 3) = .

Проверка: Р = Р₃(Х = 0)+Р₃(Х = 1)+Р₃(Х = 2)+Р₃(Х = 3) =

Закон распределения случайной величины Х:

X	0	1	2	3
P

 

Пример 5: Независимые случайные величины Х и У заданы законами распределения:

Х	1	3	4			Y	0	2	3
p	0,1	?	0,6			P	0,2	0,4	?

 

а) найти P(X=3), P(Y=3);

б) составить закон распределения случайной величины Z = X + Y. Найти M(Z), D(Z) и проверить выполнение свойств M (X+Y) = M(X) + M(Y); D(X+Y) = D(X) + D(Y);

в) составить закон распределения V = X × Y.  Найти M(V) и проверить выполнение свойства M(X × Y) = M(X) × M(Y).

Решение: а) Так как    

 P(X=1) + P(X=3) + P(X=4) = 1, P(Y=0) + P(Y=2) + P(Y=3) = 1,

 то  P(X=3) = 1 – (0,1 + 0,6) = 0,3, P(Y=3) = 1 – (0,2 + 0,4) = 0,4.

Запишем законы распределения случайных величин X и Y, с учётом их вероятностей:   

Х	1	3	4			Y	0	2	3
p	0,1	0,3	0,6			P	0,2	0,4	0,4

 

б) суммой случайных величин X и Y называется случайная величина   Z = X + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения величины X с каждым возможным значением величины Y. Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений Z = X + Y равны произведениям вероятностей слагаемых.

 

Z=X+Y	1+0=1	1+2=3	1+3=4	3+0=3
P	0,1 ∙ 0,2=0,02	0,1 ∙ 0,4= 0,04	0,1 ∙ 0,4=0,04	0,3 ∙ 0,2=0,06

 

3+2=5	3 + 3= 6	4 +0 = 4	4 + 2 =6	4 + 3= 7
0,3 ∙ 0,4=0,12	0,3 ∙ 0,4=0,12	0,6 0,2= 0,12	0,6 ∙ 0,4=0,24	0,6 ∙ 0,4=0,24

 

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Закон распределения случайной величины Z  будет иметь вид:

 

Z=X+Y	1	3	4	5	6	7
P	0,02	0,1	0,16	0,12	0,36	0,24

 

M(Z) = 1 · 0,02 + 3 ·0,1 + 4 · 0,16 + 5 · 0,12 + 6 · 0,36 + 7 · 0,24 = 5,24

Или М(Z) = M(X) + M(Y), где

M(X) = 1 · 0,1 + 3 · 0,3 + 4 · 0,6 = 3,4

M(Y) = 0 · 0,2 + 2 · 0,4 + 3 · 0,4 = 2

Тогда M(Z) = 3,4 + 2 = 5,4

Вычислим дисперсию случайной величины Z по формуле                           D(Z) = M(Z²) –  [ M(Z)]², где                                                                                 

M(Z²) = 1 · 0,02+9 · 0,1+16 · 0,16 +25 · 0,12+36 · 0,36+43 · 0,24 = 31,2.

Тогда D(Z) = 31,2 – (5,4)² = 2,04.

Или D(Z) = D(X) + D(Y), где

D(X) = 1 ∙ 0,1 + 9 ∙ 0,3 + 16 ∙ 0,6 – (3,4)² = 0,84

D(Y) = 0,2 ∙ + 4 ∙ 0,4 + 9 ∙ 0,4 – (2)² = 1,2

Таким образом D(Z) = 0,84 + 1,2 = 2,04;

в) составим закон распределения V = X ·Y.                                      

Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина V = X · Y , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y . Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений V = X · Y равны произведениям вероятностей сомножителей.

Одинаковые значения величины V = X · Y объединяем, складывая их вероятности.

Закон распределения V = X ·Y записываем так:

Найдём

M(V) = 0 · 0,2 + 2 · 0,04 + 3 · 0,04 + 6 · 0,12 + 8 · 0,24 + 9 · 0,12 + 12·0,24 = 6,8.        

Или М(V) = M(X) ∙ M(Y) = 3,4 ∙ 2 = 6,8.