Сумісна дія згинання та кручення для стержнів круглого або кільцевого перерізу

    У сучасних силових пристроях широко використовується вали – циліндричні стержні круглого або кільцевого перерізів, за допомогою яких передається та розподіляється потужність (крутний момент) між елементами механічної системи. Навантаження на вали з боку зубчатих коліс, натягу ременів, власної ваги вала та шківів спричиняють просторове згинання і кручення, чи складне згинання, кручення та розтягання (стискання). Тому у поперечних перерізах валів виникають такі внутрішні силові фактори:  – згинальні моменти,  – крутний момент,  – поперечні зусилля,  – поздовжня сила.

    Отже, в будь-якому перерізі можуть одночасно виникнути нормальні напруження , а також дотичні напруження .

    Зазначимо, що у даному випадку, як і при складному згинанні, впливом дотичних напружень від поперечних сил можна знехтувати по зрівнянню з дотичними напруженнями, спричиненими крученням. Якщо відсутні і поздовжні сили , то у перерізах вала залишаються лише згинальні  та крутний  моменти.

Згинальні і крутний моменти діють у трьох взаємно - ортогональних площинах. Якщо площина дії моменту проходить крізь вісь балки, то такий момент є згинальним. Моменти, що діють у площині, ортогональній до осі вала, приводять к його крученню.

    Наступним кроком до вирішення задачі є визначення небезпечного перерізу. Для круглого та кільцевого профілів ця операція спрощується завдяки променевій симетрії перерізу. Оскільки усі осі, які проходять крізь центр ваги кола або кільця, є головними, то просторове згинання можна завжди звести до плоского, у площині дії сумарного згинального моменту

                                              (38)

    Це легко пояснити, якщо згадати визначення вектора-моменту  пари сил (рис. 26).

Рисунок 26

Величина цього вектора дорівнює діючому моменту, а його напрям ортогональний до площини, у якій розташований момент. Вектор – момент має додатне значення, якщо дивлячись з кінця цього вектора, обертання пари сил здійснюється проти годинникової стрілки.

    Розглянемо, наприклад, переріз вала, і позначимо внутрішні моменти (рис. 27).

Рисунок 27

Побудуємо вектори – моменти  та . Згідно з їх визначенням, обидва вектори мають розташування у площині перерізу  і можуть бути складеними у геометричну суму згідно (38). Кожен з цих векторів співпадає за напрямом з нейтральною лінією власного моменту, тому вектор-момент  вказує спільну нейтральну лінію від одночасної дії обох згинальних моментів  та . Нахил нейтральної лінії визначається кутом

.

Площина дії сумарного згинального моменту  ортогональна до спільної нейтральної лінії. Точки 1 та 2, що лежать у площині моменту , є найбільш віддаленими від нейтральної лінії і мають максимальні, рівні за абсолютною величиною напруження.

,                          (39)

де  – осьовий момент опору кола.

    Розподіл дотичних напружень від дії крутного моменту у тому ж перерізі наведений на рис. 28.

Рисунок 28

Розподіл  свідчить, що в контурних точках 1 та 2 діють однакові максимальні дотичні напруження

,                              (40)

де  – полярний момент опору кола.

    Таким чином, у точках 1,2 маємо збіг найбільших нормальних та дотичних напружень. Напружений стан у цих точках – двохвісний (плоский) , , тому для запису умови міцності треба використати відповідну гіпотезу міцності.

    Будемо вважати, що матеріал вала є пластичним, до якого можна застосувати ІІІ або ІV гіпотезу міцності. Тоді формули умови міцності для плоского напруженого стану мають такий вигляд:

, або

Використовуючи (38) та (39) отримаємо

                       (41)

Вирази (41) свідчать, що розрахунок круглих та кільцевих валів при сумісній дії згинання та кручення формально зводиться до розрахунку на „просте згинання” під дією еквівалентного моменту

                                     (42)

    Таким чином, для визначення найбільш небезпечного перерізу слід зробити лише ряд розрахунків. Згідно з (42) треба підрахувати величини еквівалентних моментів у всіх потенційно небезпечних перерізах. Найнебезпечніший з них має максимальний еквівалентний момент. Зазначимо також, що знаки складових моментів (їх напрям) у виразах (42) не мають особливого значення, тому при підрахунках, перш за все треба звертати увагу до перерізів з максимальними за модулем компонентами.

Приклад 5

    Розглянемо випадок складного опору на прикладі розрахунку діаметру вала редуктора (рис 29). Нехай вал редуктора передає потужність       , яка розподіляється між веденими шківами у співвідношенні 1:3, і обертається з кутовою швидкістю . Допустиме напруження матеріалу вала .

Рисунок 29

    Для того щоб зробити розрахунки напружено-деформованого стану будь-якої деталі, треба визначити розподіл внутрішніх силових факторів в перерізах цієї деталі. Тому, зовнішні навантаження у вигляді сил та моментів, що не діють безпосередньо на розрахунковий об’єкт, треба спочатку привести до центру ваги відповідних перерізів деталі.

    Якщо деталь знаходиться у складі механізму, враховуються лише ті навантаження, що діють саме на позначену деталь з боку інших відкинутих складових частин механізму. Тому у формуванні розрахункової схеми мають бути задіяні як активні, так і реактивні зусилля.

Так тангенціальні сили  і  (рис.29) є реакціями , діючими на ведені шківи О і Е відповідно, з боку відкинутих сателітів. Активні зусилля  і  прикладені до ведучого шківа С безпосередньо від гілок ремінної передачі.

    Усі прикладені сили діють на відстані радіусів відповідних шківів від центрів ваги валу, який підлягає розрахунку. Тож треба перенести ці сили до валу за допомогою паралельного переносу.

    Розглянемо цей процес більш детально. У точці С такий перенос треба зробити двічі (рис. 30).

Рисунок 30

Перенос сили  до центра ваги вала на відстань  супроводжується появою моменту .

Аналогічно, після переносу сили  з’являється момент  у зворотному напрямку

.

Площину дії моментів ,  неважко встановити за двома напрямками. Перший є напрямком дії сил  або  (вісь ), другий напрямок – плече переносу (вісь ). Тому площина дії обох моментів  та  є спільною площиною . Звісно, що у цій площині моменти діють відносно осі , що підкреслюється індексами моментів.

    Алгебраїчно сумуючи силові фактори у точці С, маємо:

                                 (43)

Аналогічна процедура застосовується до сил  і  (рис. 31)

Рисунок 31

де

                             (44)

    Повна розрахункова схема валу ОВСDЕ зображена на рис. 29. Крутні моменти , ,  приводять до кручення в площині , поперечні сили  та  згинають вал у площині , а поперечна сила  дає згинання в площині .

    Таким чином маємо сумісну дію кручення та складного згинання, що розкладається на два прості згинання у головних площинах валу (рис. 29).

    Оскільки зусилля , ,  зв’язані з крутними моментами, спочатку визначимо останні

.                           (45)

З умов задачі 100 % потужності (крутного моменту) розподіляється між веденими шківами Е і О у відношенні 1:3 (25 % : 75 %), отже

Таким чином у площині  встановлюється рівновага

По знайдених крутних моментах можна побудувати епюру. У перерізах  крутний момент дорівнює: ,

а у перерізах : .

    З співвідношень (43), (44) визначаємо окружні зусилля

                                     (46)

    Для побудови епюри згинального моменту  у площині  треба спочатку врівноважити вал, тобто визначити реакції                          .

Згинальні моменти в перерізах вала підраховуються наступним чином:

    Аналогічну процедуру можна застосувати до побудови епюри згинального моменту  в площині . Але у даному випадку її можна дещо скоротити, спираючись на правила побудови епюр. Наприклад, в перерізі  згинальний момент  не залежить від реакцій опор і визначається дією зусилля         

У перерізі  згинальний момент відсутній взагалі , а в перерізі  момент є лінійною функцією реакції . Він змінюється від нульового значення у точці, де прикладена сила (плече сили дорівнює нулю), до значення моменту на суміжному інтервалі, тобто

    Небезпечний переріз визначаємо по найбільшому значенню еквівалентного моменту (42). У нашому випадку для перерізу С

або

.

Для підрахунку діаметру використаємо, наприклад, ІІІ гіпотезу міцності (41)

       (47)

Після округлення діаметру до найближчого стандартного значення маємо:

    Відомо, що різниця між ІІІ та ІV гіпотезами міцності не перевершує сімох відсотків у тому випадку, якщо у перерізі діють лише дотичні напруження. У даному прикладі, підрахунок діаметру згідно ІV гіпотези міцності дає приблизно ті ж самі результати.