Просторове та косе згинання

Згинання називають косим, якщо усі навантаження діють у одній (силовій) площині, яка перетинає вісь балки , але не включає жодної з головних центральних осей інерції перерізу.

Якщо силових площин дві і більше, то таке згинання називається просторовим.

Рисунок 1

Розрахунки балок, які знаходяться в умовах косого або складного згинання, можна звести до сумісної дії двох плоских згинань у головних площинах. Для цього навантаження, що діють у довільних силових площинах треба спроектувати до головних площин ,  (рис. 1б). Таким чином, у будь-якому перерізі балки виникають чотири внутрішні силові фактори: .

Треба зазначити, що в даному методичному посібнику ми свідомо не торкаємося питань згинання тонкостінних відкритих профілів ( з однією віссю симетрії або без неї) , для яких поперечні сили, що проходять крізь центр ваги перерізу, породжують систему неврівноважених дотичних напружень. Останні утворюють крутний момент , що зумовлює вільне або стиснуте кручення.

У практичних розрахунках на міцність для більшості перерізів малими дотичними напруженнями , як правило нехтують. Таким чином, врахують лише нормальні напруження від дії згинальних моментів .

Незважаючи на загальні підходи до рішення задач косого і складного згинання, є деякі відмінності у цих випадках складного опору:

а) при косому згинанні деформована вісь бруса є плоскою кривою, а при складному згинанні – просторовою;

б) згинальні моменти  у випадку косого згинання набувають максимальних значень в одному перерізі, а якщо згинання складне, - здебільшого в різних.

Розглянемо жорстко затиснуту консольну балку, навантажену на вільному кінці силою , яка лежить у силовій площині, нахиленій під кутом  до головної площини  (рис. 2а).

Розкладемо зусилля  по головних осях перерізу і, таким чином, зведемо задачу косого згинання до комбінації двох плоских згинань у головних площинах  та .

                                                  (1)

Рисунок 2

У довільному перерізі  згинальні моменти визначаються за співвідношеннями:

                                    (2)

Максимальні значення вони набувають у перерізі , при , який є найбільш небезпечним.

                                               (3)

Обчислимо напруження в точці  довільного перерізу, яка знаходиться у першому його квадранті (рис. 2б):

                                                      (4)

Оскільки тип напружень від дії згинальних моментів  однаковий (рис. 2б) , їх можна алгебраїчно просумувати:

                          (5)

Усі складові співвідношень (5) (згинальні моменти та координати) будемо вважати додатними, а знак приписувати кожному сполучнику окремо, зважаючи на деформації у відповідному квадранті.

Аналізуючи розподіл нормальних напружень у перерізі (рис. 2б), робимо висновок, що нульові напруження можуть знаходиться лише у точках другого та четвертого квадрантів.

Позначимо координати  точки з напруженнями  (рис. 3), тоді з формули (5) маємо:

    .                                    (6)

Це рівняння є рівнянням прямої, що проходить крізь початок координат (центр ваги перерізу) і квадранти з різними знаками нормальних напружень. Така лінія називається нейтральною.

Кутовий коефіцієнт цієї прямої:

                                                (7)

Рисунок 3

Якщо зважити, що з формул (2)

,

то остаточно

.                                              (8)

Таким чином, нейтральна лінія завжди відхиляється від осі  на кут  в ту ж сторону, в яку слід силової площини відхиляється від осі  на кут  (рис.3). Різниця між цими кутами залежить від співвідношення осьових моментів інерції перерізу. Наприклад, якщо прийняти , а співвідношення  (що відповідає двотавру), легко підрахувати кут , який коливається між 85÷89 градусами.

То ж у випадку косого або просторового згинання для перерізів ( ) нейтральна лінія не є ортогональною до сліду площини  дії згинального моменту. Ця обставина є характерною рисою косого згинання. І навпаки, якщо головні моменти інерції однакові ( ), косе згинання унеможливлюється, бо кути  і  стають рівними, тобто нейтральна лінія стає ортогональною до сліду силової площини, а це є ознакою прямого згинання. Так відбувається у разі, якщо переріз балки є кругом, кільцем, квадратом і т.п.

Для визначення найбільш небезпечних точок ( у розтягнутій та стислій зонах) у випадку довільного перерізу проведемо дві паралельні до нейтральної лінії прямі, які дотичні до контурних точок перерізу. У створі між цими прямими будується епюра сумарних нормальних напружень.

Точки 1 та 2 є найбільш віддаленими від нейтральної лінії і тому найбільш напруженими (рис.3). У нашому прикладі в точці 1 діють максимальні розтягуючі, а у точці 2 – стискаючі напруження.

Таким чином, умови міцності для перерізу мають вигляд:

                                (9)

де  та  – допустимі напруження розтягання та стискання відповідно.

Якщо переріз має дві вісі симетрії, наприклад прямокутник, то співвідношення (9) дещо скорочуються:

                                  (10)

В цих виразах

                                    (11)

де  – координати найбільш віддалених від нейтральної лінії точок.

У випадку, якщо матеріал стержня має однакову міцність на розтягання і стискання, тобто , то умови (10) перетворюються:

                                (12)

Зрозуміло, що найбільші напруження будуть спостерігатись у найбільш небезпечних перерізах, де згинальні моменти набувають своїх максимальних значень.

Відносно складових напруження  у виразах (10) та (12) можна зробити наступні спостереження. У перерізах, де , що опиняються в умовах косого або просторового згинання, можна говорити про наявність «сильної»  та «слабкої»  площин перерізу. Тому дія малого згинального моменту у «слабкому» напрямку може привести до появи більших напружень, ніж при дії значного моменту у «сильній» площині.

Доречи, якщо переріз балки має виступаючі кути і може бути вписаний в прямокутник, то незалежно від положення нейтральної лінії найбільш віддаленими точками будуть відповідні кутові. У таких випадках, для розрахунків максимальних напружень у перерізі визначення положення нейтральної лінії втрачає сенс.

Добір перерізів при косому та просторовому згинанні – задача більш складна, ніж при прямому плоскому згинанні. При її розв’язанні треба задатися відношенням моментів опору:

                                          (13)

Тоді, з урахуванням (13), умова міцності (11) буде мати вигляд:

                                              (14)

а моменти опору визначаються наступним чином:

                                      (15)

У випадку просторового згинання, якщо згинальні моменти набувають максимальних значень у двох різних перерізах, задача вирішується за допомогою метода спроб з послідуючою перевіркою. Перша спроба виконується у перерізі, де діє максимальний за абсолютною величиною момент. У іншому (другому) перерізі обов’язково виконується перевірка.

Приклад 1

Визначити номер двометрової консольної балки (рис. 4) з умови міцності, якщо , , .

Рисунок 4

Двотаврова балка знаходиться в умовах складного (просторового) згинання, бо згідно зі схемою навантаження (рис. 4) можна визначити дві силові площини, які перетинають поздовжню вісь двотавру. Одна з цих площин співпадає з головною центральною площиною , інша нахилена до горизонту під кутом .

    Розкладемо зусилля  по головним осям перерізу, та зведемо складне згинання до двох плоских згинань в площинах  (рис. 5а) та  (рис. 5б).

У кожній площині збудуємо епюри згинальних моментів. Дією поперечних зусиль будемо нехтувати.

Найбільший за модулем згинальний момент  досягається в  перерізі О, тому першу спробу добору двотавру зробимо саме для цього перерізу. Проаналізуємо напружений стан перерізу. З розподілу згинальних моментів у перерізі О визначимо знаки нормальних напружень у різних квадрантах перерізу (рис. 6).

Рисунок 6

Зважаючи на правила знаків для згинальних моментів, можна констатувати, що у площині  в зону стискання потрапляють нижні волокна перерізу (волокна з від’ємною координатою у). У площині  стислими є ліві волокна, або волокна з від’ємною координатою х (рис. 6). При лінійному розподілі нормальних напружень вздовж координат перерізу маємо дві найбільш напружені точки 1 та 2, для яких складемо умову міцності. Оскільки , то

Аналізуючи співвідношення  для двотаврів, можна дістати висновку, що середнє значення коефіцієнта , тому

Для перерізу О теоретично необхідний момент опору дорівнює:

.

Для перерізу В теоретично необхідний момент опору дорівнює:

.

    В якості моменту опору двотавру, що відповідає умові міцності в обох перерізах необхідно обирати більший з двох можливих:

.

З таблиць сортаменту добираємо найближчий більший двотавр №30а, який має наступні характеристики:

.

Тоді у перерізі В (рис. 7) максимальні напруження в точках 3,4 становлять:

.

Перенавантаження складає:

,

що цілком допустимо.

Розподіл напружень в поперечному перерізі має вигляд:

Рисунок 7

Визначаючи переміщення  та кути повороту  перерізів при косому та просторовому згинанні, також виходимо з принципу незалежності дії сил. Обчислюємо ці величини в кожній з головних площин  та , а результати сумуємо геометрично.

Таким чином, повний прогин і кут повороту визначаються формулами:

                                          (16)

Як приклад, обчислимо прогин вільного кінця консолі, навантаженою силою (рис.2а). Ці переміщення можна знайти багатьма способами (метод початкових параметрів, інтеграл Максвелла – Мора, спосіб Верещагіна і т.п.), які дають однакове рішення для прогину  [1]:

                                                (17)

Як і раніше розкладемо силу  по головним осям. Тоді в площині               маємо

,

відповідно у площині

.

Утворимо співвідношення

.            (18)

Порівнюючи його з (8), достаємо висновку:

.

Якщо зважити, що кути  та  відлічуються від взаємно ортогональних напрямків (осей  та  відповідно), маємо  (рис. 8)

Рисунок 8

тобто напрямок повного прогину у випадку косого та просторового згинання завжди ортогональний до нейтральної лінії перерізу. Тому для визначення цього напрямку необхідно попередньо знайти положення нейтральної лінії для будь-якого за формою перерізу.

Приклад 2

Розглянемо двотаврову балку №70, завантажену силою посередині (рис. 9).

Рисунок 9

З таблиць сортаменту для двотаврів геометричні характеристики поперечного перерізу:

Легко підрахувати опорні реакції, що становлять половину від сили     (завдяки симетрії системи). Тоді при прямому згинанні

.

Максимальні напруження на полицях двотавру дорівнюють:

.

Максимальний прогин (у напрямку осі ) посередині балки (переріз С) підраховується як [1]

.

    Припустимо, що при монтажі балки була зроблена невелика похибка у , на які стійка профілю відхилилася від вертикалі (рис. 10). Завдяки цьому маємо класичний випадок косого згинання.

Рисунок 10

Розкладемо силу  по головних осях перерізу.

Розрахункові схеми навантаження в площинах  та  під дією сил  відповідно є подібними до схеми прямого згинання (рис. 9). Максимальні згинальні моменти у перерізі С дорівнюють:

а максимальні напруження при косому згинанні

Співвідношення

вказує на зростання напружень при косому згинанні більше ніж у півтори рази (на 51,4 %). Згідно з формулою (16) повний прогин  при косому згинанні є геометричною сумою прогинів  у головних площинах перерізу (рис. 11) Напрям повного прогину  лежить на перпендикулярі до нейтральної лінії.

Рисунок 11

Підрахуємо спочатку кут нахилу нейтральної лінії. Згідно з (7)

Таким чином, напрямок повного прогину  при косому згинанні відхилився від вертикалі на . Підрахуємо повний прогин та порівняємо його з прогином при прямому згинанні.

Розрахунок свідчить, що у разі косого згинання прогини зростають майже вдвічі (на 99 %) для перерізів у яких .

Слід зауважити, що приведені результати мають місце для геометрично лінійної постановки задачі з малими переміщеннями, які розподіляються згідно з диференціальним рівнянням зігнутої осі балки [1].

Якщо прогини  близькі до розмірів перерізів, то треба використовувати точне рівняння зігнутої осі балки, що забезпечує нелінійний зворотний зв'язок між згинальними моментами та прогинами балки:

.