Сумісна дія просторового згинання з розтяганням (стисканням)

Для отримання цього виду складного деформування стержня дещо ускладнімо розрахункову схему косого або просторового згинання, додавши до неї осьове навантаження силою  (рис. 12).

Розклавши, як і раніше, зусилля  по головних осях X та Y

                       ;  

у довільному перерізі  балки маємо дію двох згинальних моментів ,  та поздовжньої сили  (рис.13а). Напрямок їх дії показаний на рис. 13б.

Рисунок 12

Рисунок 13

    Малими дотичними напруженнями від дії поперечних зусиль ,  (як і у випадку косого або просторового згинання) будемо нехтувати.

Внутрішні зусилля перерізу (рис.13б) приводять до появи нормальних напружень, розподіл яких наведено на рис. 14.

Рисунок 14

Таким чином, у довільній точці перерізу маємо простий (лінійний) напружений стан.

.                           (19)

Як і у рівняннях (5), знаки приписуємо кожному сполучнику формули (19) окремо, залежно від деформації відповідного квадранту переріза.

Умови міцності для цього виду деформованого стану можна сформулювати наступним чином:

а) якщо матеріал стержня має різну міцність на розтягання – стискання:

                    (20)

де  – координати найбільш віддалених від нейтральної лінії точок у розтягнутій та стислій зоні відповідно.

б) у разі однакового опору розтяганню (стисканню), тобто коли

;                       (21)

в) для перерізу, що має дві осі симетрії

                               (20.1)

а у разі, якщо

                                   (21.1)

д) для перерізу, що має форму кола або кільця, завдяки співвідношенням

;  

вирази умови міцності набувають вигляду:

                               (20.2)

а при

.                                  (21.2)

При сумісній дії розтягання (стискання) та складного або косого згинання нейтральна лінія є також прямою, але такою, що не перетинає центр ваги перерізу (початок координат) завдяки наявності  (рис. 14). Неважко це встановити і математично, якщо вважати  координатами точки, яка належить до нейтральної лінії. Тоді з (19) витікає рівняння цієї прямої:

.                            (22)

Шляхом алгебраїчних перетворень зведемо (22) до рівняння прямої у «відрізках на координатних осях»

    .                                    (23)

Таким чином, у даному випадку складного опору нейтральна лінія є прямою, яка проходить крізь квадранти з різними знаками нормальних напружень і відсікає відрізки:

                      (24)

на відповідних координатних осях.

    Добір розмірів перерізу при сумісній дії згинання та розтягання (стискання) проводиться спочатку без впливу поздовжньої сили . Наприклад, для бруса круглого перерізу момент опору має дорівнювати:

.                           (25)

Для бруса прямокутного або двотаврового перерізу

.                      (26)

Співвідношенням  треба задатися. Так, для прямокутного перерізу , для двотаврової балки приймають середнє відношення  і знаходять потрібний номер двотавра методом послідовних наближень. Першу спробу роблять по найбільшому за модулем згинальному моменту. Друга спроба, у випадку складного згинання, повинна перевірятися з урахуванням іншої складової згинального моменту та додаткових напружень від поздовжньої сили . Допустиме перевантаження не повинно перевершувати 5 %.

    Одержані співвідношення (19) – (26) легко поширюються на окремий випадок сумісної дії плоского згинання та розтягання (стискання). Для цього в зазначених рівняннях треба прийняти  (або ).

Приклад 3

    Доберемо номер двотаврової стійки, нахиленої до горизонту під кутом  під дією сили  (рис. 15а). Нехай допустимі напруження для сталі становлять .

Рисунок 15

Будемо вважати, що навантаження здійснюється в площині , яка є головною площиною балки.

    Проектуючи силу  на головні осі  та  (рис. 15б), маємо сумісну дію плоского прямого поперечного згинання в площині  під дією проекції  та розтягання балки у перерізах ділянки ВС від сили .

Рисунок 16

    Аналіз епюр згинального моменту  та поздовжньої сили  свідчить, що найбільший навантажений переріз розташований у точці С справа (рис. 16). Орієнтація внутрішніх зусиль та розподіл нормальних напружень у цьому перерізі (рис.17) вказують, що алгебраїчна сума напружень найбільша у точках нижньої полиці двотавру. Для них з умови міцності при згинанні зробимо першу спробу добору перерізу:

Рисунок 17

    Із сортаменту для двотаврів знаходимо найближчий більший за моментом опору. Це двотавр № 18, який має .

    Перевіримо добір з урахуванням напружень розтягання від поздовжньої сили .

Перенапруження для даного двотавра становить 7,3 % >5 %. Тому треба збільшити номер двотавра і призначити наступний – 18а, для якого .

У цьому разі