Оценка точности модели кривой роста, выбор наилучшей кривой роста.  

Для адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки точности. Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной.

В качестве статистических показателей точности применяются: среднее квадратическое отклонение, средняя относительная ошибка аппроксимации, коэффициент сходимости, коэффициент детермизации. n-количество уровней ряда, k-число определяемых параметров модели, y_t-оценка уровней ряда по модели, y_ср – среднее арифмитическое значение уровней ряда.

Симплекс-метод с естественным базисом, алгоритм метода.  

Для его применения КЗЛП должна содержать единичную подматрицу M*N. В этом случае очевиден начальный опорный план (неотрицательное базисное решение системы ограничений КЗЛП). Проверка на оптимальность опорного плана происходит с помощью признака оптимальности. Переход к другому опорному плану проводится с помощью преобразований Жордана-Гаусса. Полученный новый опорный план проверяется снова на оптимальность и т.д. Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи, либо получается оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение ЦФ. Признак оптимальности состоит из двух теорем: 1.Если для всех векторов А1,А2,…,Аn системы ограничений выполняется условие ∆j = Zj – Cj ≥ 0, где Zj = ∑ Ci Aij, то полученный опорный план является оптимальным. 2.Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие ∆j = Zj – Cj < 0, то можнополучить новый опорный план, для которого значение ЦФ будет больше исходного, при этом могут быть два случая а)Если все компоненты вектора, подлежащего вводу в базис, не положительны , то ЗЛП не имеет решения. б)Еслиимеется хотя бы одна положительная компонента у вектора, подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.

На основании признака оптимальности в базис вводится вектор Ak, давший минимальную отрицательную величину симплекс-разности: ∆k = min (Zj – Cj), j = 1,‾n.

Чтобы выполнялось условие не отрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор Ar, который дает минимальное положительное оценочное отношение: Q = min Bi / Aik = Br/Ark, Aik >0, i = 1,m. Строка Arназывается направляющей, столбец Ak и элемент Ark направляющими.

Элементы направляющей строки в новой симплекс-таблице вычисляются по формулам: a’rj = arj / ark, j = 1,n.

Элементы i-той строки:  a’ij = (aij ark – arj aik) / ark, i = 1,m, j = 1,n, i ≠ r.

Значения нового опорного плана: b’r = br / ark для i=r; b’i = (bi ark – br aik) / ark для i≠r.

Процесс решения продолжают либо до получения нового оптимального плана либо до установления неограниченности ЦФ. Если среди оценок оптимального плана нулевые только оценки, соответствующие базисным векторам, то это говорит об единственности оптимального плана. Если же нулевая оценка соответствует вектору, не входящему в базис, то это значит, что оптимальный план не единственный.

Временной ряд, тренд, трендовая модель. Получение трендовой модели средствами Excel.

Временной ряд – это набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Числа, составляющие временной ряд и получающиеся в результате наблюдения за ходом некоторого процесса, называются уровнями временного ряда, или элементами. Интервал между двумя последовательными моментами времени называют тактом (шагом, квантом). Длина временного ряда – количество входящих в него уровней n. Временной ряд обозначают y(t), или y_t, где t=1,2,…,n. Структурные компоненты временного ряда: Детерминирующая составляющая (тренд, сезонный эффект, циклическая компонента) и случайная составляющая («белый шум», авторегрессия, скользящее среднее, смешанная).

Тренд, или тенденция f(t) представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течении длительного периода времени. Обычно тренд описывается с помощью той или иной неслучайной функции F_тр(t) (аргументом которой является время), как правило монотонной. Эту функцию называют функцией тренда, или просто трендом.

Под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. Экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению следующих основных этапов: 1. Предварительный анализ данных. 2. Построение моделей: формирование набора аппроксимирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей. 3. Проверка адекватности моделей и оценка их точности. 4. Выбор лучшей модели. 5. Рассчет точечного и интервального прогнозов.

Постановка и экономико-математическая модель открытой транспортной задачи.  

Имеется m пунктов производства однородного продукта с объемами производства A1,A2,…,Am. Имеется n пунктов потребления этого продукта с объемами потребления b1,b2,…,bn. Известны оценки С= (Cij) M*N транспортных затрат на перевозку единицы груза от i-того поставщика к j-тому потребителю (по коммуникации от i к j). Надо так прикрепить потребителей к поставщикам, чтобы минимизировать суммарные транспортные затраты на перевозку груза. ЭММ ТЗ: Обозначим через Xij, i=1,m j=1,n объемы перевозок по коммуникации i→j, т.е. в рассмотрение вводится матрица X=(Xij)m*n.

Min ∑ ∑ Cij Xij

∑ Xij = Ai, i=1,m

∑ Xij = Bj, j=1,n

Если не выполняются условия баланса между спросом и предложением ∑Ai = ∑Bj, то ТЗ называется открытой, при этом могут быть 2 случая. 1 случай:∑Ai > ∑Bj, тогда ограничения имеют вид ∑ Xij ≤ Ai, i=1,m. 2 случай:∑Ai < ∑Bj. Тогда ограничения имеют вид ∑ Xij ≤ Bj, j=1,n

Симплекс-метод с искусственным базисом, алгоритм метода.

Симплекс-метод с искусственным базисом применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный план опорный план КЗЛП. Этот метод заключается в применении правил симплекс-метода к М-задаче. Она получается из исходной добавлением к левой части векторного уравнения таких искусственных единичных векторов с соответствующими неотрицательными искусственными переменными, чтобы вновь полученная матрица содержала систему единичных, линейно-независимых векторов. В линейную форму исходной задачи добавляется в случае ее максимизации слагаемое, представляющее собой произведение числа (-М) на сумму искусственных переменных, где М –достаточно большое число. В полученной задаче первоначальный опорный план очевиден. При применении к этой задаче симплекс-метода оценки ∆j теперь будет зависеть от буквы М. Для сравнения оценок нужно помнить, что М- достаточно большое число. В процессе решения М-задачи следует вычеркивать в симплекс-таблице искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если в оптимальном решении М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна (задача неразрешима). В случае неразрешимости М-задачи будет неразрешима и исходная задача.