Решение систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы

Перейдем к изучению СЛАУ (4.1), которой соответствует матричное уравнение (4.2). Сначала рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений данной системы ( ) и , то есть основная матрица системы невырождена. В этом случае, согласно предыдущему пункту, для матрицы существует единственная обратная матрица . Ясно, что она согласована с матрицами и . Покажем это. Для этого умножим слева обе части матричного уравнения (4.2) на матрицу :

Следовательно, с учетом свойств умножения матриц получаем

Так как , а , тогда

. (4.3)

Убедимся, что найденное значение является решением исходной системы. Подставив (4.3) в уравнение (4.2), получим , откуда имеем .

Покажем, что это решение единственное. Пусть матричное уравнение (4.2) имеет другое решение , которое удовлетворяет равенству

.

Покажем, что матрица равна матрице

С этой целью умножим предыдущее равенство слева на матрицу .

В результате получим

Такое решение системы уравнений с неизвестными называется решением системы (4.1) методом обратной матрицы.

Пример. Найти решение системы

.

Выпишем матрицу системы:

,

Для этой матрицы ранее (занятие 1) мы уже нашли обратную:

или

Здесь мы вынесли общий множитель , так как нам в дальнейшем нужно будет произведение .

Ищем решение по формуле: .

Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.

Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i² = –1. Число aназывается действительной частью, а число b — мнимой частьюкомплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i² = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженнымк z = a + bi. Равенство z · = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

(Например, .)

Алгебраическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа z в виде , где a и b - действительные числа, называется алгебраической формой комплексного числа.

Например .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Если  - модуль комплексного числа , а  - его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа z называется выражение

Показательная форма комплексного числа

Показательной формой комплексного числа  называется выражение