Методы нахождения ранга матрицы

Существует 2 метода нахождения ранга матрицы. Рассмотрим их.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу A приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы A.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A состоит в следующем. Необходимо:

Найти какой-нибудь минор M₁ первого порядка (то есть элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица A нулевая и r(A)=0.

Вычислять миноры 2-го порядка, содержацие M₁ (окаймляющие M₁) до тех пор, пока не найдется минор M₂, отличный от нуля. Если такого минора нет, то r(A)=1, если есть, то r(A)?2. И т.д.

Вычислять (если они существуют) миноры k-о порядка, окамляющие минор M_k-1?0. Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то r(A)=k-1; если хотя бы один такой минор M_k?0, то r(A)?k, и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор M_k-1?0.

Системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

(4.1)

Решением системы (4.1) называется такая совокупность n чисел

, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.

Например, система уравнений совместная и определенная, так как имеет единственное решение ; система

несовместная, а система совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения .

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются эквивалентными.

Основной матрицей СЛАУ (4.1) называется матрица А размера , элементами которой являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть

.

Матрицей неизвестных СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец Х, элементами которой являются неизвестные системы (4.1):

.

Матрицей свободных членов СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец В, элементами которой являются свободные члены данной СЛАУ:

.

С учетом введенных понятий СЛАУ (4.1) можно записать в матричном виде или

. (4.2)