Решение систем методом Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Кратко алгоритм метода Крамера можно описать тремя шагами:

Находим определитель D исходной матрицы A.

В цикле от 1 до n заменяем i-ый столбец матрицы на столбец результатов B. Находим текущий определитель D_i полученной матрицы.

x_i находится делением D_i на D: x_i = D_i / D.

Суть метода Крамера демонстрирует пример нахождения переменных системы линейных уравнений.
ПРИМЕР. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
x₁ + 4x₂ = 5
-2x₁ + x₃ = -1
2x₁ + x₂ + x₃ = 4
Решение. Запишем систему в виде:

B^T = (5,-1,4)
Главный определитель: ∆ = 1 • (0 • 1-1 • 1)-(-2 • (4 • 1-1 • 0))+2 • (4 • 1-0 • 0) = 15
Заменим первый столбец матрицы А на вектор результата B.

Найдем определитель полученной матрицы: ∆₁ = 5 • (0 • 1-1 • 1)-(-1 • (4 • 1-1 • 0))+4 • (4 • 1-0 • 0) = 15
x₁ = 15/15 = 1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата B.

Определитель полученной матрицы равен ∆₂ = 1 • (-1 • 1-4 • 1)-(-2 • (5 • 1-4 • 0))+2 • (5 • 1-(-1 • 0)) = 15
x₂ = 15/15 = 1
Заменим третий столбец матрицы А на вектор результата B.

Определитель этой матрицы равен ∆₃ = 1 • (0 • 4-1 • (-1))-(-2 • (4 • 4-1 • 5))+2 • (4 • (-1)-0 • 5) = 15
x₃ = 15/15 = 1
Проверка решения:
1•1+4•1+0•1 = 5
-2•1+0•1+1•1 = -1
2•1+1•1+1•1 = 4

Вывод:

Смысл метода Крамера: находим определитель D_i, получаемый из заменой i-го столбца на столбец свободных членов и делим его на главный определитель D.

x_i = D_i / D

Метод Крамера относится к простым для реализации методам решения СЛАУ и получил широкое распространение в разных областях знаний (например, при нахождении уравнений регрессий). Недостатком метода является его практическая непригодность для вычисления СЛАУ с большим количеством переменных (от 5 и выше). Для этого случая используют приближенные методы (например, метод простой итерации).