Составление математической модели

Составлению математической модели предшествует тщательный анализ исследуемой системы результаты которого отражаются в содержательном описании Формулируются цель моделирования и те вопросы, на которые следует дать ответ.

Сущность этапа построения математической модели состоит в переходе от содержательного описания системы к строго (Формализованному описанию с помощыо математических символов, обозначений и функциональных соотношений между подходящим образом выбранными величинами. С выбора совокупности величин, описывающих состояние системы в произвольный момент времени, и начинается составление модели. При этом используется общепринятая система обозначения Физических величин.

Предварительно необходимо отчётливо представить себе процесс •функционирования системы, выделив в нём все ситуации, существенные с точки зрения поставленной цели моделирования, с точки зрения сформулированной задачи, Здесь оказывается полезным применение следующего приёма. Представим себе, что в некоторый? момент времени t функционирование системы неожиданно прерывается, и поставим вопрос:

какую информацию о системе необходимо запомнить, чтобы в дальнейшем МОЖНО было бы "запустить" систему с момента времени t и продолжить процесс её функционирования так, как если бы прерывания не было. Информация, которую нужно запомнить, и дает нeo6xoдимую систему величин. Поясним сказанное примером.

Пример. Рассмотрим систему коллективного пользования, описанную в 3.2.7. Формальное описание этой системы можно разделить на описание дисплеев и описание ЭВМ. Остановив систему в момент времени t Что нужно запомнить о дисплеях? Первое - это состояние дисплея: означает ли пользователь ответа на посланный ранее запрос или, уже получив ранее ответ, обдумывает новый запрос. Во втором случае необходимо еще знать, сколько вpeмени будет продолжаться обслуживание. Это рассуждение показывает, что для описания дисплея можно задать признак состояния

и время -t₀, остающееся то формирования очередного запроса (в случае, если р = 0).

Так как дисплеев n , то эти величины определяется для каждого из них, так что фактически надо задавать два вектора (массива):

                                      p(i ), t₀i)    (i=1,2,..n).

Рассмотрим теперь ЭВМ. Какую информацию нужно заполнить об ЭВМ? Сначала, сколько программ находится в памяти ЭВМ. Обозначим это число К. Далее необходимо знать порядок в очереди: первой стоит программа с дисплея номер n₁, за ней - программа с дисплея номер n₂ на k ~м месте -программа с дисплея номер n_k. Для каждой из программ надо знать, как далеко продвинулось её выполнение. Зададим для этого величину t_i ( i =1,2..k ) - время, необходимое для завершения i-й программы. Наконец, нужно указать, какую программу обрабатывает процессор в данный момент. Пусть j. - номер обрабатываемой преграммы. Итак, состояние рассматриваемой системы можно описать при помощи величин.

                                p(i), to(i) ( i=1,2,..n); К ;

                                n₁, n₂,..., n_k;

                                t₁, t₂ , …, t_к; j.

Перечисленные величины относятся к числу основных. К ним нужно ещё добавить вспомогательные, предназначенные для фиксирования и запоминания результатов моделирования. Совокупность вспомогательных величин определяется той задачей, которая ставится при моделировании. Если, например, мы интересуемся загрузкой ЭВМ, то дополнительно введём величину z - время, в течение которого ЭВМ была занята обработкой программ (в течение времени t-z ЭВМ простаивала). Если целью моделирования является оценка количества отказов на запросы, вводится счётчик числа отказов N_отк - число запросов, получивших отказ к моменту времени t , и т.д.

После выбора совокупности величин, описывающих состояние системы, переходят к отыскиванию зависимостей, отражающих изменение этих величин во времени. Набор таких зависимостей, описывающих процесс функционирования системы, и будет представлять собой математическую модель системы.

 4.2.2. Разработка моделирующего алгоритма

Рассмотрим три общих метода построения моделирующих алгоритмов.

Метод Dt. Промежуток времени [0,T], на котором необходимо рассмотреть процесс функционирования системы, разбивается на от резки длительности Dt:

Величина Dt во многих случаях естественным образом связана с рассматриваемой системой'. Так. в системе коллективного пользования (см.п.3.2,7) за Dt принимается время, в течение которого процессор обрабатывает одну nporpaммy; в задаче о складе Dt = I дн. На момент времени to == 0 для всех величин, описывающих cocтояние системы, задаются начальное значения. Далее состояние системы последовательно вычисляется для моментов времени

                                    ti =ti-1 + D t ( i =1,2,.. N ).

При достижении конца интервала моделирования Тмод работа алгоритма заканчивается и производится обработка полученных результатов.

Схема моделирующего алгоритма, составленного по метoдy 4t, показана на рис.6.

Рис. 6. Обшая схема моделирующего алгоритма, построенная по методу D t.

Метод особых состояний. В отличие от метода Dt метод особых состояний заключается в том, что пересчёт состояний системы производится только для особых моментов времени. К числу особых моментов времени относят моменты, в которые в систему поступают входные сигналы, скачкообразно изменяется внутреннее состояние элементов системы. Так, для CМО такими моментами будут моменты поступления заявок и освобождения линии. В системе коллективного пользования особыми будут моменты поступления запросов и моменты окончания выполнения программ. Схема моделирующего алгоритма в этом случае будет иметь дополнительный блок определения ближайшего в будущем особого момента времени: (рис.7).

1. Начало                                                                            

2. t_ос = 0                                                                                   

3. Установка начального состояния

4. Вычисление очередного особого момента времени

5. Если t_oc ³ T_мод, то ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И КОНЕЦ, иначе 6

6. Расчет состояния системы на момент времени t. Идти к 4 

Рис. 7. Схема алгоритма, построенного по методу особых состояний

Метод последовательной проводки заявок. Этот метод применяется при моделировании СМО. Сущность его заключается в том, что последовательно прослеживается история одной заявки от момента ее поступления в систему до момента выхода. Обращение к другим заявкам производится постольку, поскольку это необходимо для решения вопроса о дальнейшей судьбе данной заявки.

В отличие от предыдущих методов здесь нет прямого движения во времени: проследив одну заявку до момента времени выхода ее из СМО, мы, обращаясь к следующей заявке, рассматриваем момент времени ее поступления. В силу этого алгоритм будет иметь более сложную структуру.