Моделювання пуассоновського потоку.

Візьмем найпростіший (пуассоновський) потік вимог з інтенсивністю  (мал.1.1). Позначимо через

                                          Мал 1. 1

 проміжки часу між двома сусідніми вимогами. Очевидно, що - випадкові величини.

Функція розподілу дає ймовірність того, що випадкова величина  одержить значення, менше за , тобто

                                           (2)

Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина  буде менше заданого . Для цього потрібно, щоб в інтервал часу  з'явилася хоча б одна вимога. З урахуванням формули (1) можна записати:

                                   (3)

Тут  є ймовірність того, що в інтервалі часу  не з'явиться жодної вимоги . Таким чином,

           (4)

Щоб знайти функцію щільності розподілу випадкової величини , потрібно продиференціювати функцію за часом . Одержимо,

                                          (5)

Це є функція щільності експонціального закону розподілу. Графіки функцій  й при показані на малюнку 1.2.

Мал. 1.2

Таким чином, щоб одержати пуассоновський потік вимог, які надходять у систему, досить згенерувати випадкову величину з експоненціальним  законом розподілу.

1.6. Організація черги.

        Дисципліни постановки вимог у чергу й вибору вимог із черги для обслуговування визначають порядок за яким вимоги стають у чергу, якщо пристрій обслуговування зайнятий, і порядок їх виходу із черги для обслуговування, якщо пристрій для обслуговування вільний. 

Найпростіша дисципліна обслуговування передбачає постановку вимог у чергу один по одному по мірі їх надходження. Вона має назву перший прийшов – першим обслужений (ПППО), в англомовной літературі – FIFO (First In First Out). Прикладом черги з такою дисципліною може бути черга до телефона - автомата.

        Є інший спосіб організації черги, коли для обслуговування вибираються останні в черзі вимоги (останній прийшов – першим обслужений) (ПППО), в англомовной літературі LIFO (Last In First Out). Цей спосіб ще називається «стеком» або «магазином». Прикладом черги з такою дисципліною обслуговування може служити паром для перевезення авто, - автомобіль, який заїхав на паром першим, залишає паром останнім.

        Вибір вимог із черги також може бути випадковим. (в англомовной літературі – RANDOM). Наприклад, вибір куль із барабана при грі в лото.

        При виборі вимог із черги може також ураховуватися пріоритет.

        Черга може мати обмеження по довжині або за часом перебування вимог у ній. У цьому випадку вимоги, що знову надійшли, залишають систему без обслуговування.

Вихідний потік вимог.

Вихідний потік – це потік вимог, які залишають систему. При цьому вимоги можуть бути як обслуженими, так і не обслуженими. Імовірнісні характеристики розподілу вимог вихідного потоку в часі залежать від щільності розподілу вхідного потоку й параметрів роботи пристроїв обслуговування.

 З теорії масового обслуговування відомо, що вихідний потік вимог СМО з М пристроями обслуговування із чергами для найпростішого вхідного потоку з параметром  і експоненціальним розподілом часу обслуговування з параметром  є найпростішим потоком з параметром . В інших випадках розподіл імовірності вихідних потоків вимог СМО має складну імовірнісну природу.

1.8   Режими роботи СМО.

На практиці часто доводиться вивчати режими СМО, за допомогою яких описується деякі виробничі процеси або система обробки інформації. Якщо в системі пристрої для обслуговування час від часу виходять із ладу, то вводиться поняття режим відмови. При дослідженні деяких систем потрібно брати до уваги ще один режим – блокування обслуговування. Цей режим обумовлений тимчасовими перериваннями або затримкою процесів обслуговування.

Зміна режиму роботи СМО може бути викликана зовнішнім впливом (тимчасовою відсутністю вимог, ремонтом устаткування й т.п.) або виходом з ладу деякого пристрою системи (наприклад, блоку живлення в комп'ютері).

Типи моделей СМО.

У теорії масового обслуговування розглядаються тільки такі СМО, параметри ефективності яких можна одержати аналітично. Для позначення таких систем і їх моделей часто використовують запис, запропонований Канделом – .

Тут   – розподіл часу надходження вимог.  – розподіл часу обслуговування.  – кількість пристроїв для обслуговування.

 Найпоширенішою моделлю, яка розглядається в теорії масового обслуговування, є модель типу . У цій моделі тільки один пристрій обслуговування (цифра 1) і в ній процеси розподілу часу надходження (перша буква М) і обслуговування (друга буква М) є Марковськими. У такій моделі час між двома вимогами, які надійшли  у систему, й час їх обслуговування мають експоненціальні розподіли.

Модель типу   - детермінована, а модель типу    - змішана. Якщо відомостей про систему мало, її модель позначається як .

У теорії масового обслуговування аналітичні результати отримані тільки для моделей типу ,  і . Для визначення характеристик моделей з іншими значеннями параметрів СМО потрібно використовувати методи імітаційного моделювання.

Аналіз СМО. Мережі СМО.

Формула Літтла.

В теорії масового обслуговування важливе значення має формула Літтла (закон збереження стаціонарної черги), яка дозволяє визначити середню кількість вимог, що перебувають у системі. Щоб одержати формулу Літтла, розглянемо СМО загального виду, зображену на малюнку 2.1 у вигляді «чорного ящика», і будемо розглядати її вхідні й вихідні потоки вимог.

Мал. 2.1

Позначимо через  випадковий процес надходження вимог (заявок) у систему за інтервал часу . Через  позначимо процес виходу вимог із системи на тому ж проміжку часу. Представимо обидва процеси графічно (мал.2.2):

Мал. 2.2

Кількість вимог , що перебувають у системі в будь-який момент часу , можна визначити так:

                                    (6)

Інтенсивність надходження вимог у СМО за час спостереження  можна визначити як:

                                                   (7)

Заштрихована площа між кривими й визначає загальну роботу (добуток кількості вимог на час перебування їх у СМО) на проміжку часу , що вимірюється у вимогах за секунду. Позначимо заштриховану площу через

Середній час перебування вимог у системі можна знайти так:

                                                   (8)

Середня кількість вимог, що перебувають у системі за проміжок часу :

                                                  (9)

Використовуючи формули (7-9), можна отримати:

                                     (10)

Візьмемо граничні значення величин, що входять в (10) при .

;     ;     .

У такий спосіб:

                                                       (11)

Таким чином, для будь-якого закону розподілу проміжків часу між двома моментами надходження вимог і будь-якого розподілу часу їхнього обслуговування, будь-якої кількості пристроїв обслуговування, будь-якої дисципліни обслуговування середня кількість вимог, що перебувають у системі  визначається через інтенсивність надходження вимог  і середній час перебування вимог у системі .

Одноканальні СМО.

Розглянемо одноканальну СМО з одним пристроєм обслуговування  й чергою до нього (мал. 2.3).

Мал. 2.3

Позначимо через  середній час перебування вимоги в черзі. Тоді відповідно до формули Літтла можна отримати середню кількість вимог у черзі:

                                                    (12)

Якщо позначити середній час обслуговування вимоги в пристрої через  і розглядати СМО як систему з одним пристроєм, то, використовуючи формулу Літтла, можна визначити середню кількість вимог у пристрої для обслуговування:

                                                      (13)

Для СМО з одним пристроєм обслуговування завжди має місце рівність:

                                                     (14)

де  середній час перебування вимоги в системі.

Знайдемо коефіцієнт завантаження (використання) пристрою обслуговування . Його можна визначити як частку від ділення інтенсивності надходження вимог у систему  на швидкість обслуговування цих вимог у пристрої , тобто:

,                                                             (15)

де швидкість обслуговування вимог пристроєм обслуговування.

Інакше:

                               (16)

Можна показати, що  можна розглядати як імовірність того, що під час надходження вимоги в систему, пристрій обслуговування буде зайнятим:

                                                      (17)

де  ймовірність того, що в момент надходження вимоги в систему, пристрій обслуговування буде вільним.

Введемо коефіцієнт варіації  як відношення стандартного відхилення від середнього значення до самого середнього значення :

                                                           (18)

Для експонентного закону розподілу коефіцієнт варіації  оскільки  й  для цього закону дорівнюють . Для регулярного детермінованого закону розподілу  (  ).

Можна показати, що для моделі СМО типу  середня кількість вимог у системі визначається формулою:

                               (19)

Середній час перебування вимоги в такій системі знаходиться за формулою:

                               (20)

З (20) можна знайти середній час очікування вимоги в черзі:

                                         (21)

Зазвичай  цікавляться нормованим часом очікування:

                                            (22)

Для моделей типу :

Для моделей типу

Вочевидь СМО з регулярним законом обслуговування характеризується середнім часом очікування, який в 2 раза менший за середній час очікування в СМО з експоненціальним законом обслуговування. Це закономірно, оскільки час перебування вимог у системі і їхня кількість пропорційні дисперсії часу обслуговування.

Багатоканальні СМО

Багатоканальні СМО – це СМО з декількома однаковими пристроями обслуговування, що ввімкнені паралельно (мал. 2.4).

Мал. 2.4

Аналіз багатоканальних СМО набагато складніший, ніж одноканальних. За допомогою теорії масового обслуговування можна отримувати аналітичні залежності в замкнутому вигляді для розрахунку характеристик роботи багатоканальних СМО в стаціонарному режимі роботи тільки лише для моделей типу  Для СМО з іншими законами розподілу часу надходження й обслуговування вимог, використовують чисельні методи.

Для системи, що складається з  однакових пристроїв обслуговування коефіцієнт завантаження дорівнює:

Його можна трактувати як математичне очікування числа зайнятих пристроїв.