Тема 1. Теорія дійсних чисел

Числові функції. Елементарні функції. Область визначення функції. Графік функції. Монотонні функції. Обернена функція.

Тема 2. Границя і неперервність функції

Нескінченно малі і нескінченно великі функції та їх властивості. Деякі визначні границі.

Односторонні границі. Часткові границі. Порівняння функцій. Символи О(f), o(f).

Неперервність функції на відрізку. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Неперервність функцій, заданих параметрично.

Тема 3. Диференціальне числення

Обчислення границь за допомогою формули Тейлора.

Задачі на знаходження найменших і найбільших значень.

Тема 4. Інтегральне числення

Обчислення об’ємів тіл і площ поверхонь.

Наближене обчислення інтегралів. Оцінка інтегралів.

Абсолютна і умовна збіжність інтегралів від необмежених функцій. Головне значення інтегралу.

Абсолютна і умовна збіжність інтегралів з необмеженими границями інтегрування. Головне значення інтегралу.

Тема 5. Ряди

Метод виділення головної частини. Ознаки Даламбера і Коші збіжності ряду.

Тема 6. Ряди фур’є. Інтеграл Фур’є

Представлення функцій інтегралом Фур’є.

Тема 7. Функції багатьох змінних

Частинні похідні функцій, заданих неявно. Заміна змінних.

Найбільше і найменше значення функції багатьох змінних.

Тема 8. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

Застосування подвійного інтегралу для обчислення площі, об’єму і площі поверхні.

Умови незалежності криволінійного інтегралу від шляху. Диференціювання інтегралу, що не залежить від шляху. Інтеграли по замкнутому контуру.

Контрольні запитання

Тема 1. Теорія дійсних чисел

1. Які операції можна здійснювати над множинами? Дати визначення кожної з них.
2. Що таке відображення, образ, прообраз?
3. Які Ви знаєте відображення? Навести приклади.
4. Що називають перерізом множини дійсних чисел?
5. В чому полягає принцип неперервності дійсних чисел?
6. Яку множину називають обмеженою, необмеженою?
7. Що таке верхня, нижня грань множини?
8. Які множини мають верхню, нижню грань?
9. В чому полягає принцип вкладених відрізків?
10. Які множини називають незліченними?
11. Чи може незліченна множина бути обмеженою? Навести приклад.
12. Чи може незліченна множина бути необмеженою? Навести приклад.

Тема 2. Границя і неперервність функції

1. Що таке числова послідовність?
2. Чи може числова послідовність мати скінченне число членів?
3. Чи може числова послідовність мати однакові члени?
4. Дати визначення границі числової послідовності.
5. Чи може в околі границі числової послідовності міститися нескінченне число її членів?
6. Яку послідовність називають монотонною?
7. В яких випадках монотонна послідовність має границю?
8. Яку послідовність називають нескінченно малою?
9. В чому полягає критерій Коші збіжності числової послідовності?
10. Що таке верхня, нижня границя послідовності?
11. Що називають границею функції?
12. Які функції називають нескінченно малими, нескінченно великими?
13. Яка функція називається неперервною?
14. Які властивості мають неперервні функції?
15. Коли суперпозиція функцій є неперервною функцією?
16. Що таке точки розриву функції?
17. Яку функцію називають рівномірно неперервною?
18. Коли неперервна функція є рівномірно неперервною?
19. Які функції називають еквівалентними?

Тема 3.Диференціальне числення

1. Що називають похідною функції? В чому полягає її геометричний зміст?
2. Що таке диференціал функції? В чому полягає його геометричний зміст?
3. Коли існує похідна добутку двох функцій і чому вона дорівнює?
4. Коли існує похідна оберненої функції в даній точці і чому вона дорівнює?
5. Як знайти похідну суперпозиції двох функцій?
6. Дати визначення другого диференціалу функції.
7. В чому полягає теорема Ферма про нуль похідної функції?
8. В чому полягає теорема Лагранжа про середнє для диференційованих функцій?
9. Які достатні умови екстремуму функції?
10. Які необхідні і достатні умови екстремуму функції?
11. Що таке точки перегину функції? Які необхідні і достатні умови наявності у функції точок перегину?
12. Що таке вектор-функція? Чому дорівнює її похідна?

Тема 4.Інтегральне числення

1. Яку функцію називають первісною?
2. Дати визначення неозначеного інтеграла.
3. Які Ви знаєте властивості неозначеного інтеграла?
4. Дати визначення означеного інтеграла.
5. Що можна сказати про функцію, інтегровану на відрізку?
6. Що таке верхня і нижня суми Дарбу?
7. Яка необхідна і достатня умова інтегрованості функції?
8. Які основні властивості інтегрованих функцій?
9. В чому полягає основна теорема інтегрального числення?
10. Записати формулу інтегрування по частинах.
11. Сформулювати теорему про середнє для означеного інтеграла?
12. Що таке невласні інтеграли?
13. Що означає абсолютна, умовна збіжність невласних інтегралів?
14. Які Ви знаєте критерії збіжності невласних інтегралів?

Тема 5.Ряди

1. Що називають сумою числового ряду?
2. Який ряд називається збіжним?
3. Яка необхідна умова збіжності ряду?
4. Які властивості має збіжний рад?
5. Які Ви знаєте ознаки збіжності числових рядів?
6. Які ряди називають абсолютно збіжними? Умовно збіжними?
7. Що таке функціональні ряди?
8. Що означає рівномірна збіжність функціонального ряду?
9. Яка необхідна умова рівномірної збіжності ряду?
10. Які Ви знаєте критерії рівномірної збіжності функціональних рядів?
11. Яка необхідна умова рівномірної збіжності ряду?
12. В чому полягає критерій Коші рівномірної збіжності ряду?
13. Які Ви знаєте властивості рівномірно збіжних рядів?
14. Що таке степеневий ряд, радіус і круг його збіжності?
15. Які Ви знаєте властивості степеневих рядів?
16. Коли степеневі ряди допускають почленне диференціювання, інтегрування?
17. Коли функція допускає розвинення її в ряд Тейлора?

Тема 6. Ряди Фур’є. Інтеграл Фур’є.

1. Коли систему функцій називають ортогональною?
2. Назвіть властивості тригонометричної системи функцій.
3. Що таке ряд Фур’є?
4. Які Ви знаєте ознаки збіжності рядів Фур’є?
5. Коли ряд Фур’є допускає почленне диференціювання, інтегрування?
6. Що таке інтеграл Фур’є? Які його властивості?
7. Дати визначення перетворення Фур’є.
8. Які Ви знаєте властивості перетворення Фур’є абсолютно інтегрованих функцій?

Тема 7.Функції багатьох змінних