Тема 6. Ряди Фур’є. Інтеграл Фур’є.

ПРОГРАМА

Вивчення дисципліни

"Математичний аналіз"

Київ 2013

 Навчально-методична розробка містить пояснювальну записку, навчально-тематичний план та програмний матеріал до вивчення дисципліни “Математичний аналіз”, контрольні питання і список рекомендованої літератури.

Підготовлена кандидатом фізико-математичних наук, доцентом кафедри прикладної математики та інформаційних технологій  Людвиченком В.О..

Затверджена на засіданні кафедри кафедри прикладної математики та інформаційних технологій МАУП (Протокол № __ від __ _________ 20 _р.).

Схвалено Вченою радою Міжрегіональної Академії управління персоналом.

© Міжрегіональна Академія управління персоналом (МАУП), 2013.

Пояснювальна записка

Математичний аналіз – це фундаментальна математична дисципліна, навчальний матеріал якої оснований на використанні знань з. курсу математики, що не виходять за межі програми математики середньої школи.

Змістом курсу є диференціальне та інтегральне числення функцій однієї і багатьох змінних та ряди.

Метою і завданням курсу є засвоєння основних понять та методів математичного аналізу, щоб забезпечити студентів необхідним базовим математичним апаратом для вивчення планових курсів інших навчальних дисциплін.

  Місце курсу в професійній підготовці випускників:

дисципліна є базовою.

Об'єм дисципліни, види учбової роботи, форми

Контролю.

Всього аудиторних занять 36 години. З них: - лекцій 26

 годин, семінарських занять 10 годин.  Самостійна робота студента 72 години. Разом (трудомісткість дисципліни) 108 години

Предмет читається в 1-у та 2-у семестрах.. 

Підсумкова перевірка рівня засвоєння студентами матеріалу курсу, передбаченого програмою, здійснюється у вигляді заліку.

ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН дисципліни

«МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»

Зміст дисципліни

Математичний аналіз

Змістовий модуль 1. Множини дійсних і комплексних чисел

Тема 1.  Числові множини і дії над ними

♦ Зміст теми :

 Множини.

 Операції над множинами.

 Відображення. Класифікація відображень. Композиція відображень і взаємно обернені відображення

Література [1 - 4]

Тема 2. Множини дійсних чисел

♦ Зміст теми :

Дійсні чисел і їх властивості

. Числова пряма і множини на ній.

Околи.

Обмежені і необмежені числові множини.

 Верхня і нижня грані числових множин.

Література [1 - 4]

Тема 3. Комплексні числа і дії над ними

♦ Зміст теми :

Програмний матеріал

До вивчення дисципліни

Математичний аналіз

Тема 1. Теорія дійсних чисел

Множини. Операції над множинами. Відображення. Класифікація відображень. Композиція відображень і взаємно обернені відображення

Дійсні чисел і їх властивості. Числова пряма і множини на ній.

Околи. Обмежені і необмежені числові множини. Верхня і нижня грані числових множин.

Тема 2. Границя і неперервність функції

Границя послідовності. Збіжність послідовностей. Нескінченні границі. Властивості границі послідовності.

Монотонні послідовності. Критерій існування границі монотонної послідовності. Число еяк границя послідовності.

Підпослідовності і часткові границі послідовностей. Критерій Коші збіжності послідовності. Нескінченно малі послідовності.

 Граничний перехід і арифметичні операції над послідовностями. Граничний перехід і нерівності. Верхня і нижня границя послідовності.

Елементарні функції та їх класифікація. Границя функції. Односторонні і двосторонні границі.

Властивості границь функцій. Граничний перехід і арифметичні операції над функціями. Граничний перехід в нерівностях. Заміна змінних при обчисленні границь.

Неперервність функцій. Властивості функцій неперервних в точці. Арифметичні операції над неперервними функціями. Проміжні значення неперервної функції.

 Властивості монотонних функцій. Неперервність оберненої функції. Неперервність елементарних функцій. Суперпозиція функцій і її неперервність.

Точки розриву функції і їх класифікація. Локальні і глобальні властивості неперервних функцій.

Тема 3.Диференціальне числення

Похідна і диференціал функції. Необхідна і достатня умова диференційованості функції в точці. Геометричний і фізичний зміст похідної і диференціала.

Правила обчислення похідних, пов’язані з арифметичними операціями над функціями. Похідні основних елементарних функцій.

Похідна і диференціал складної функції. Інваріантність форми першого диференціала. Диференційованість функції і її неперервність.

Похідні вищих порядків. Вищі похідні суми і добутку функцій. Похідні вищих порядків від складних функцій, від обернених функцій і від функцій, заданих параметрично. Диференціали вищих порядків.

Теорема Ферма про нуль похідної. Теореми про середнє для диференційованих функцій. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Формула Тейлора. Многочлен Тейлора як многочлен найкращого наближення функції в околі даної точки. Обчислення границь за допомогою формули Тейлора.

Дослідження функцій методами диференціального числення. Ознака монотонності функції. Найбільше і найменше значення функції. Необхідна і достатня умова існування екстремуму.

Схема дослідження функцій. Побудова графіків.

Тема 4.Інтегральне числення

Первісна функція і невизначений інтеграл. Основні властивості невизначеного інтегралу. Таблиця основних формул інтегрування.

Лінійність неозначеного інтегралу. Основні методи інтегрування: заміна змінних та інтегрування по частинах.

Раціональні дроби P(z)/Q(z). Розклад правильного раціонального дробу на елементарні дроби на множині дійсних і комплексних чисел. Інтегрування раціональних дробів. Метод Остроградського.

Інтегрування деяких ірраціональностей. Підстановка Ейлера. Інтеграли від диференціального бінома.

Інтегрування виразів, що містять тригонометричні і показникові функції.

Визначений інтеграл. Верхні і нижні суми Дарбу, верхній і нижній інтеграл Дарбу. Необхідні і достатні умови умови інтегрованості функції. Обмеженість інтегрованої функції.

Інтегрованість неперервних і монотонних функцій. Властивості визначеного інтегралу.

Визначений інтеграл із змінною верхньою границею. Неперервність і диференційованість інтеграла по верхній границі. Формула Ньютона-Лейбніца.

Формула заміни змінної в інтегралі. Інтегрування по частинах. Теореми про середнє значення.

Невласні інтеграли з безконечними границями інтегрування. Критерій Коші збіжності інтегралів. Достатні ознаки збіжності. Абсолютна і умовна збіжність.

Невласні інтеграли від необмежених функцій. Основні формули і ознаки збіжності. Заміна змінних і формула інтегрування по частинах для невласних інтегралів.

Головне значення невласного інтеграла. Дослідження збіжності невласних інтегралів.

Тема 5.Ряди

Числовий ряд, його сума, збіжність. Необхідна умова збіжності ряду. Властивості збіжних рядів. Критерій Коші збіжності ряду.

Ряди з невід’ємними членами. Метод виділення головної частини члена ряду.

Ознаки Даламбера і Коші для рядів з невід’ємними членами. Інтегральна ознака збіжності рядів з невід’ємними членами.

Знакозмінні ряди. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості абсолютно збіжних рядів. Ознаки Даламбера і Коші для довільних числових рядів. Підсумовування рядів методом середніх арифметичних.

Степеневі ряди. Радіус збіжності і круг збіжності степеневого ряду. Формула Коші-Адамара для радіуса збіжності.

Аналітичні функції. Почленне диференціювання і почленне інтегрування степеневого ряду.

Розклад функцій в степеневі ряди. Різні форми залишкового члена формули Тейлора.

Тема 6. Ряди Фур’є. Інтеграл Фур’є.

Ортогональні і ортонормовані системи. Тригонометрична система функцій і її властивості. Ряд Фур’є. Властивість коефіцієнтів ряду Фур’є. Інтеграл Діріхле. Принцип Локалізації.

Збіжність рядів Фур’є в точці. Ознака Діні збіжності рядів Фур’є. Підсумовування рядів методом середніх арифметичних. Сума і ядро Фейєра.

Характер збіжності рядів Фур’є. Інтегрування і диференціювання рядів Фур’є. Ряди Фур’є у випадку довільного інтервалу. Комплексна форма рядів Фур’є.

Перетворення Фур’є. Властивості перетворення Фур’є абсолютно інтегрованих функцій. Перетворення Фур’є похідних. Похідна перетворення Фур’є функції.