Тема 7.Функції багатьох змінних

Множини на площині і в просторі. Віддаль між точками в n-мірному прсторі. Околи точок. Границя послідовності точок. Необхідна і достатня умова збіжності послідовності.

Функції багатьох змінних. Границя функції. Неперервність функції в точці. Неперервність композиції неперервних функцій.

Неперервність функції на множині. Теореми про функції, неперервні на множинах. Рівномірна неперервність. Модуль неперервності.

Частинні похідні і частинні диференціали. Диференційованість функції в точці. Диференціал функції.

Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціала. Основні закони диференціювання.

Геометричний зміст частинних похідних і повного диференціала. Градієнт функції. Похідна за напрямом.

Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Формула Тейлора.

Локальні екстремуми функції багатьох змінних. Необхідні умови локального екстремуму. Достатні умови локального екстремуму. Критерій Сильвестра.

Визначення умовного екстремуму. Метод Лагранжа знаходження умовного екстремуму. Найбільше та найменше значення функції в замкнутій області.

Неявні функції. Існування і диференційованість неявно заданої функції. Частинні похідні. Особливі точки поверхні і плоскої кривої.

Неявні функції, задані системою рівнянь. Існування і диференційованість неявних функцій, заданих системою рівнянь. Якобіан функцій. Частинні похідні.

Тема 8. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

Означення подвійного інтегралу і умови його існування. Властивості інтегрованих функцій і подвійних інтегралів. Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах.

Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах. Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Потрійний інтеграл і умови його існування. Властивості інтегрованих функцій і потрійних інтегралів. Обчислення потрійних інтегралів.

Застосування кратних інтегралів для обчислення площ і об’ємів.

Криволінійні інтеграли першого роду. Визначення, властивості та обчислення.

Криволінійні інтеграли другог роду. Визначення, властивості та обчислення. Зв’язок між криволінійними інтегралами першого і другого роду.

Односторонні та двосторонні поверхні. Орієнтація поверхні. Площа поверхні та її обчислення. Поверхневі інтеграли 1-го роду, їх властивості та обчислення.

Поверхневі інтеграли другого роду. Формула Стокса і її застосування.

Формула Гауса-Остроградського. Застосування формули Гауса-Остроградського для обчислення поверхневих інтегралів.

Практичні заняття

Тема 1. Теорія дійсних чисел

Операції над множинами. Еквівалентні і нееквівалентні множини. Висловлювання. Операції над висловлюваннями. Логічні оператори, знаки загальності та існування.

Тема 2. Границя і неперервність функції

Способи задання послідовностей. Зростаючі і спадні послідовності. Обмежені і необмежені послідовності. Границя послідовності і її властивості.

Монотонні послідовності. Нескінченно великі і нескінченно малі послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності. Обмеженість збіжних послідовностей.

Арифметичні операції над послідовностями. Властивості границь, зв’язаних з операціями над послідовностями. Граничний перехід в нерівностях.

Часткові границі послідовностей. Теорема Больцано-Вейєрштраса. Верхня і нижня границі послідовностей.

Границя функції в точці. Граничний перехід в операціях над функціями і нерівностях. Границя композиції функцій.

Односторонні границі. Часткові границі. Порівняння функцій. Символи О(f), o(f).

Неперервність функції в точці. Точки розриву функції. Властивості функцій, неперервних в точці.

Тема 3. Диференціальне числення

Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Обчислення похідних, зв’язаних з арифметичними діями над функціями. Похідна складної функції.

Похідна оберненої функції. Похідна функції, заданої параметрично. Похідна функції, заданої неявно.

Диференціал функції. Властивості диференціала. Геометричний і фізичний зміст похідної і диференціала.

Похідні і диференціали вищих порядків. Похідні і диференціали для функцій, заданих параметрично і неявно.

Формули Тейлора і Маклорена. Розвинення функцій в ряди Тейлора і Маклорена.

Умови зростання і спадання функцій. Екстремуми функцій. Умови випуклості. Точки перегину.

Побудова графіків.

Тема 4. Інтегральне числення

Невизначений інтеграл. Загальні прийоми і методи інтегрування. Заміна змінних. Інтегрування по частинах.

Інтегрування раціональних функцій. Метод Остроградського.

Інтегрування ірраціональних функцій.

Інтегрування трансцендентних функцій.

Визначений інтеграл. Обчислення визначених інтегралів з допомогою інтегральних сум.

Заміна змінних. Інтегрування по частинах. Теореми про середнє значення.

Обчислення площ плоских фігур і довжин кривих.

Невласні інтеграли від необмежених функцій. Основні формули інтегрування. Ознаки збіжності.

Невласні інтеграли з необмеженими границями інтегрування. Основні формули інтегрування. Ознаки збіжності.

Тема 5. Ряди

Числові ряди. Збіжність ряду, сума ряду. Необхідна ознака збіжності. Критерій Коші збіжності ряду.

Критерій збіжності ряду з невід’ємними членами. Ознаки порівняння рядів. Інтегральна ознака збіжності ряду.

Абсолютно збіжні ряди. Знакозмінні ряди. Ознаки Діріхле і Абеля.

Умовно збіжні ряди. Сума і добуток рядів.

Степеневі ряди. Радіус збіжності і круг збіжності степеневого ряду. Диференціювання і інтегрування степеневого ряду. Обчислення суми ряду.

Ряд Тейлора. Залишковий член ряду Тейлора.

Тема 6. Ряди Фур’є. Інтеграл Фур’є

Розвинення функцій в тригонометричний ряд Фур’є. Комплексна форма ряду Фур’є.

Збіжність рядів Фур’є. Ядро Діріхле і інтеграл Діріхле. Ядро Фейєра і суми Фейєра.

Перетворення Фур’є похідної. Похідна перетворення Фур’є.

Тема 7. Функції багатьох змінних

Функції багатьох змінних. Область визначення і множина значень. Лінії рівня і поверхні рівня функції.

Границя функції багатьох змінних.

Неперервність і рівномірна неперервність функції багатьох змінних. Відображення.

Частинні похідні функції багатьох змінних. Диференціал і його властивості. Частинні похідні складної функції.

Похідна за напрямом. Градієнт.

Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

Формула Тейлора і ряд Тейлора.

Локальні екстремуми функцій багатьох змінних. Дослідження функцій на локальний екстремум.

Умовний екстремум. Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремуму.

Тема 8. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

Подвійний інтеграл. Безпосереднє обчислення подвійного інтегралу. Зведення подвійного інтегралу до повторного.

Обчислення потрійних інтегралів зведенням до повторних. Властивості потрійних інтегралів.

Криволінійні інтеграли 1-го роду і їх властивості. Зведення до звичайного визначеного інтегралу.

Криволінійні інтеграли 2-го роду і їх властивості. Випадок замкнутого контуру.

Поверхневі інтеграли 1-го роду. Зведення поверхневого інтегралу до подвійного. Поверхневі інтеграли 2-го роду.

Формула Гауса-Остроградського. Застосування формули Гауса-Остроградського для обчислення поверхневих інтегралів.

Індивідуальні заняття