Характеристики случайных функций.

С точки зрения теории вероятностей , описание случайного процесса с помощью законов распределения является наиболее полным, но не всегда оправдано при решении прикладных задач. Чаще всего приходится пользоваться некоторыми числовыми характеристиками случайной функции, которых оказывается достаточно для решения большинства прикладных задач. Простейшими характеристиками случайного процесса являются математическое ожидание (среднее) и дисперсия, которые вводятся как обобщение аналогичных характеристик случайной величины.

Поскольку при каждом фиксированном значении параметра (времени) t случайная функция пpевращается в случайную величину, то числовые характеристики этой случайной величины, в общем случае зависящие от параметра t, можно использовать в качестве числовых характеристик случайного процесса.

Таким образом, математическим ожиданием и дисперсией случайного процесса x (t) называются неслучайные функции m(t) и s (t) , которые при каждом значении аргумента (параметра) t равны математическому ожиданию и дисперсии соответствующего сечения случайной функции:

m(t)=òxw(x,t)dx

s²(t)=ò(x-m(t))²w(x,t)dx

Поскольку t является параметром только для закона распределения w(x,t) , то характеристики случайной функции могут изменяться только в том случае, когда при изменении значения параметра t изменяется вид функции w(x,t) , т.е. когда от значения параметра t так или иначе зависит комплекс условий, при котором реализуется соответствующая случайная величина (сечение случайной функции x(t)).

Рассмотрим некоторые свойства математического ожидания и дисперсии случайной функции x(t) . Пусть x(t) =x₁(t)+s(t), где s(t)- детерминированная функция, x₁(t) - случайная функция с нулевым средним (M[x₁(t)]=0) и дисперсией s²(t) , тогда:

m(t)=M[x(t)]=M[x₁(t)]+s(t)=s(t),

s²(t)=M[(x(t) - s(t))²]=M[x₁(t)]=s₁(t)²

Если  x(t)=s(t)x₁(t)где  x₁(t)- случайный процесс со средним значением  M[x₁(t)]=m₁(t) и дисперсией s₁(t)² , то

m(t)=s(t) M[x₁(t)]=s(t)m₁(t),

s(t)²=M[(s(t) x₁(t)-s(t)m₁(t))²]=s(t)M[(x₁(t)-m1(t))²]=s(t) s₁(t)

  Математическое ожидание и дисперсия не учитывают динамики случайной функции поскольку они определяются видом одномерных законов распределения. Для описания динамики случайной функции вводится автокорреляционная функция (или просто корреляционная функция):

R(t₁,t₂)=[x(t₁)x(t₂)]=òò(x₁-m(t₁))(x₂-m(t₂))w(x₁,x₂;t₁,t₂)dx₁dx₂,

которая отражает зависимость между сечениями случайной функции, взятыми в моментывремени t₁ иt₂ .

Таким образом, автокорреляционной функцией (АКФ) случайной функции x(t) называется неслучайная функция двух аргументов R(t₁,t₂), которая при каждой паре значений t₁ и t₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции.

Автокорреляционная функция обладает следующими основными свойствами.

· При t₁=t₂ она обращается в дисперсию случайной функции.

· Так как произведение x(t₁)x(t₂) =x(t₂)x(t₁) не зависит от того, в каком порядке берутся сомножители, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов: R(t₁,t₂)=R(t₂,t₁)

· Вместо корреляционной функции R(t₁,t₂) часто используется нормированная корреляционная функция

R(t₁,t₂)

                                              r(t1,t2)= ----------------

s(t₁) s(t₂)

   которая является корреляцией между центрированными и нормированными 

   случайными величинами

x(t₁)   x(t₂)

--------и-------

s(t₁)  s(t₂).

Стационарные случайные процессы.

Случайный процесс x(t) называется стационарным в узком смысле или стационарным в строгом смысле, если его плотность распределения вероятностей w(x₁...x_n;t₁...t_n)произвольного порядка n не меняется при любом сдвиге всей группы точек t₁...t_n вдоль оси времени, т.е. при любых n и t₀ справедливо равенство:

w(x₁...x_n; t₁...t_n) = w(x₁...x_n; t₁- t₀...t_n-t₀)

Это означает, что два процесса x(t) и x(t-t₀) имеют одинаковые вероятностные характеристики при любом значенииt₀, т.е. вероятностные характеристики не зависят от начала отсчета времени. Если вероятностные характеристики случайного процесса не инвариантны по отношению к произвольному смещению начала отсчета времени, то процесс называется нестационарным в узком смысле.

 Из приведенного определения следует, что для стационарного случайного процесса:

а) одномерный закон распределения имеет один и тот же вид для всех значений t.

w(x;t) = w(x; t-t₀) = w(x).

б) двумерный закон распределения может зависеть только от разности t₂-t₁:

w(x₁,x₂; t₁,t₂) = w(x₁,x₂; t₂ -t₁).

Так как одномерные законы распределения стационарных процессов не зависят от времени, то моменты этих процессов, в частности среднее и дисперсия, также не зависят от времени, т.е. являются постоянными величинами.

Поскольку двумерный закон распределения w(x₁,x₂; t₂ -t₁) стационарного случайного процесса зависит только от разности  t=t₂ -t₁, то и корреляционная функция такого процесса зависит только от одной переменной t:

K(t)=òòx₁x₂w(x₁,x₂;t)dx₁dx₂

Для решения прикладных задач корреляционная функция является достаточно полной характеристикой случайного процесса.

Раздел теории, в котором используется только среднее, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса называется корреляционной теорией. Поскольку в корреляционной теории не используются многомерные законы распределения, то в рамках этой теории стационарными можно считать случайные процессы, у которых среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности t=t₂ -t₁. Случайные процессы, удовлетворяющие этим условиям, называются стационарными в широком смысле.

Корреляционная функция K(t) стационарного случайного процесса удовлетворяет следующим свойствам.

· При t=0 она достигает максимального значения, равного дисперсии случайного процесса:

R(0) ³ | K(t) |

Это неравенство следует из следующего неравенства:

M[(x(t)±x(t-t))² ]=2( K(0)±K(t) ) ³ 0

Поскольку корреляционная функция R(t₁,t₂) любого случайного процесса обладает свойствами симметрии:

R(t₁,t₂)=R(t₂,t₁)

то для стационарного случайного процесса имеем:

R(t)=R(t₂-t₁) = R(t₁,t₂) = R(-t)

т.е. корреляционная функция K(t) является четной функцией своего аргумента. Некоторые дополнительные свойства корреляционной функции будут установлены при изложении соответствующих разделов курса.