Вероятностное описание случайных процессов.

Каждый вид случайного процесса имеет свой специфический способ вероятностного описания. Рассмотрим вероятностное описание непрерывного случайного процесса, в котором наиболее полно раскрыта общая методика описания случайных процессов. Случайный процесс x(t) можно описать приближенно через описание совокупности случайных величин x₁ =x(t₁) ...x_n =x(t_n) , взятых в некоторые моменты времени t₁...t_n .Эту совокупность случайных величин можно описать n-мерной функцией распределения:

F(x₁...x_n; t₁...t_n)=P(x₁<x₁..., x_n<x_n; t₁...t_n)

или n-мерной плотностью распределения вероятностей: w(x₁...x_n; t₁...t_n) ,гдеt₁...t_n- являются параметрами распределения, а переменные x₁...x_n  - аргументами функции. Если функция F(x₁...x_n;t₁...t_n) имеет производные, то

                       ¶ F(x₁...x_n;t₁...t_n)   

w(x₁...x_n; t₁...t_n)= ---------------------

                            ¶x₁...¶x_n

Изменение значений параметров t₁...t_n   изменяет структуру совокупности случайных величин и , следовательно, вид функций F(x₁...x_n;t₁...t_n) , w(x₁...x_n; t₁...t_n).

При n=1 закон распределения w(x₁,t₁) не является полной, исчерпывающей характеристикой случайного процесса лишь в отдельные, фиксированные моменты времени, не отражает зависимость между случайными величинами, взятыми в разные моменты времени, не отражает динамику процесса.

Двумерный закон распределения w(x₁,x₂; t₁,t₂) (n=2) отражает зависимость между случайными величинами x₁ и x₂ , взятыми в некоторые моменты времени t₁, t₂ и тем самым полнее описывает случайный процесс x(t).

Последовательность функций w(x₁,t₁)_, w(x₁,x2; t₁,t₂ ),...w(x₁...x_n; t₁...t_n) представляет собой своеобразную лестницу, поднимаясь по которой удается все более подробно описать случайный процесс.

Приведем практическую интерпретацию вероятностного описания непрерывного случайного процесса. Вероятность появления реализации x(t) есть вероятность того, что полученная в результате эксперимента реализация совпадает с заданной реализацией x(t).

Поскольку эта вероятность равна нулю, то говорить можно о вероятности совпадения только с заданной точностью, т.е. о вероятности того, что реализация попадает в некоторую узкую полосу, границы которой на рис. 2 изображены в виде пунктирной линии.

 Вероятность того, что реализация попадает в заданную полосу можно оценить, используя n-мерную плотность распределения вероятностей w(x₁...x_n; t₁...t_n).

В качестве оценки берется вероятность w(x₁...x_n; t₁...t_n) Dx₁, Dx₂...Dx_n того, что реализация пройдет через некоторый коридор, границы которого определяются интервалами Dx_i (i=1¸ n), которые соответствуют моментам времени t₁...t_n (рис. 2).

В моменты времени, которые не совпадают с моментами времени t₁...t_n полученная реализация в принципе может выходить за пределы указанной полосы.

                                                                                  рис.2

Геометрическая интерпретация вероятностного описания случайного

Процесса.