Классификация случайных процессов.

Определение случайного процесса.

Понятие случайного процесса, как и вообще любое понятие, может иметь много определений. Определения могут быть эквивалентными или могут дополнять друг друга, более полно раскрывая содержание понятия. Использование того или иного определения зависит от конкретно решаемой задачи, от той области практической деятельности, в которой оно формировалось.

Количественно случайный процесс описывается случайной функцией, которая является его математической моделью. В литературе термин ”случайный процесс” часто используется в смысле случайной функции. В методологическом и конструктивном планах

случайную функцию удобнее всего определить через обобщение понятия случайной величины, которая была определена как множество значений с заданной на нем вероятностной мерой. Наиболее распространенными являются следующие два определения:

1.1 Случайная функция - это множество (ансамбль) функций с заданной на нем вероятностной мерой. В результате эксперимента с некоторой вероятностью появляется одна из функций, которая называется реализацией. Поэтому множество функций иногда называют множеством реализаций. Эксперимент можно рассматривать как случайный выбор некоторой неслучайной функции из заданного множества функций. Поэтому реализацию иногда называют выборочной функцией и, реже, траекторией случайного процесса.

Основной трудностью при вероятностном описании случайного процесса является задание вероятностной меры, тю ею вероятности появления каждой реализации. Принципиальных трудностей не возникает, когда множество функций конечно или счетно, а также задано в виде параметрического семейства функций, т. е., когда вид функции известен с точностью до конечного множества ее параметров.

Рассмотрим несколько примеров на применение первого определения.

Пример 1. Пусть имеется n листков, на каждом из которых в соответствующей системе координат изображены графики различных функций. Если эти листочки свернуть и положить в урну, а потом случайным образом вынуть один из них, то вероятность появления той или иной функции равна вероятности, с которой будет вынут соответствующий листок. Таким образом, в данном эксперименте каждой функции поставлено в соответствие значение вероятности ее появления.

Если множество функций состоит всего лишь из одной функции (на всех листках один и тот же график или в урне один листок, причем вынутый листок возвращается в урну перед очередным экспериментом), то в результате экспериментов будет появляться одна и та же функция. Такая функция является детерминированной и представляет собой частный случай случайной функции.

Пример 2. Пусть множество функции задано в виде гармонического колебания со случайной фазой j. Тогда отдельная реализация случайной функции запишется в виде:

 х(t)=A₀cos(w₀t+j),

 где А₀ и w₀ - заданные амплитуда и частота, а j- реализация случайной величины, с заданной плотностью вероятности:

w(j)=1/2p, 0<j<2p

В этом примере случайная функция полностью описывается плотностью распределения случайного параметра j , поскольку между значениями фазы j и реализациями случайной функции можно установить взаимооднозначное соответствие.

Пример 3. В примере 2 случайными параметрами могут быть одновременно амплитуда А и фаза j . Тогда случайная функция может быть описана двумерным законом распределения w(А,j) , при этом каждой паре значений (А,j ) соответствует своя реализация случайного процесса.

1.2 Случайная функция - это случайная величина, зависящая от параметра, в частности, от времени.

Случайная функция образуется совокупностью случайных величин, каждая из которых соответствует своему значению параметра t. Реализация случайной функции представляет собой реализацию случайных величин, количество которых может быть конечным или бесконечным в зависимости от того, какова область определения значений параметра t       . Если зафиксировать некоторое значение параметра (аргумента) t, то случайная функция превращается в случайную величину, которая может принимать различные значения с некоторым законом распределения вероятностей. Эта случайная величина называется сечением случайной функции, соответствующим данному значению t.

В общем случае, каждому значению параметра t соответствует случайная величина со своим законом распределения случайной величины. С точки зрения физической интерпретации значение параметра t влияет на закон распределения через комплекс условий, при котором случайная величина реализуется, т.е. t является также параметром комплекса условий или так или иначе влияет на него.

Простейшую случайную функцию, как последовательность случайных величин, можно получить в результате повторения эксперимента (например бросания игральной кости) в заданные моменты времени.

В качестве примера рассмотрим рельеф местности, который в полярной системе координат описывается некоторой функцией f(r,j), где радиус r и фаза j являются координатами некоторой точки на местности. Для заданной местности функция f(r,j) является детерминированной. Однако ее можно рассматривать как случайную функцию одного из аргументов, если другой аргумент считать случайным параметром. Если случайным аргументом является фаза, т.е. направление, то рельеф, как функция радиуса, будет реализацией случайного функции. В данном случае, каждому значению фазы ставится в соответствие реализация случайной функции. Аналогично при случайном радиусе, реализацией случайного процесса будет изменение рельефа местности по окружности.

При описании рельефа поверхности моря необходимо вывести еще одну координату (параметр) - время. Тогда, в фиксированный момент времени, поверхность моря будет реализацией некоторого рельефа, который описывается функцией двух аргументов.

Случайная функция нескольких переменных называется случайным полем. Чаще всего, в качестве переменных выступают координаты пространства и времени.

Классификация случайных процессов.

Случайные процессы по внешнему качественному описанию всех реализаций можно разделить на три группы: импульсные, флюктуационные и специального вида.

Импульсные процессы представляют собой последовательность одиночных импульсов, в общем случае разной формы следующие друг за другом через случайные промежутки времени.

Флюктуационные процессы (гладкий характер реализаций, большие выпады редки). Типичным примером является тепловой шум.

Квазидетермированные случайные процессы (со случайными параметрами) и все прочие процессы.

В зависимости от того, непрерывные или дискретные значения принимает случайная величина x(t)и ее параметр t, различают следующие пять основных видов случайных процессов (рис.1)

Рис.1 Примеры реализаций основных видов случайных процессов.

- реализация случайного процесса .