Примеры доверительных интервалов

Если генеральная совокупность распределена по нормальному закону  m неизвестно, а  известно, то  с вероятностью  где  квантиль уровня  распределения , , n-объём выборки. Половину длины доверительного интервала в математической статистике называют точностью оценки. Для этого примера точность оценки равна

 Если генеральная совокупность   m и   неизвестны, то с вероятностью

, ,   ,

где , – квантиль распределения Стьюдента (Пирсона) с  степенью свободы уровня , – объем выборки. Здесь точность оценки .

 Пусть производится серия из  независимых испытаний, в каждом из которых событие  может произойти с неизвестной вероятностью . В качестве точечной оценки вероятности  возьмем частоту , где – объем выборки, а – количество испытаний, в которых событие  произошло .

Тогда, если , , , то с вероятностью , где .

Или более точно

.

Здесь точность оценки .

Пример.Найти минимальный объём выборки, при котором с надежностью 0,94 точность оценки математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности (по выборочному среднему ) равна  если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности

Решение. Для этого примера точность оценки равна

Найдем квантиль  По условию  Отсюда  Подставляя полученные данные в формулу для точности оценки, получим

    Полагаем

Замечание. При решении задач 92-110 рекомендуем для вычисления квантилей пользоваться их свойствами, приведёнными в п.12.