Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Пусть (Ω, S, Р), ( где Ω – пространство элементарных событий, S – σ-алгебра, Р – вероятность) вероятностное пространство. Случайную величину Х, определённую на этом пространстве в математической статистике (МС) называют генеральной совокупностью. Исходными данными для любого статистического исследованиягенеральной совокупности являются результаты n-кратного измерения случайной величины Х. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что эти измерения (наблюдения) осуществляются в неизменных условиях и независимо друг от друга. Эти допущения позволяют интерпретировать n-кратное наблюдение случайной величины Х как однократное наблюдение случайного вектора  где все  являются независимыми случайными величинами с одной и той же функцией распределения вероятностей  которая совпадает с функцией распределения вероятности генеральной совокупности   Тем самым мы приходим к понятию выборки, которая является одним из основных понятий в математической статистике.

Определение 1. Случайной выборкой объёма n при  называется случайный вектор    

                               (1)

координаты которого  являются независимыми случайными величинами с одной и той же функцией распределения вероятностей  которая совпадает с функцией распределения вероятности генеральной совокупности  Случайные величины  называют элементами случайной выборки, а саму выборку  называют случайной выборкой из генеральной совокупности Х.

Определение 2.Реализацией случайной выборки (или просто выборкой) называется неслучайный вектор  координатами  которого являются реализации соответствующих элементов случайной выборки

Выборку  можно рассматривать как совокупность n чисел

                                       (2)

 полученных в результате проведения n повторных независимых наблюдений над генеральной совокупностью Х.

Пусть задана выборка (1) и генеральная совокупность Х, имеющая функцию распределения вероятности, зависящую от параметра .

Пусть                                                           (3)

 - точечная оценка неизвестного параметра , построенная по выборке (1).

Так как – независимые случайные величины, то точечная оценка (3) как функция случайных величин есть случайная величина. За приближенное значение параметра  принимают реализацию  оценки (3), вычисленную по выборке

Оценка (3) называется:

1) несмещенной (без систематических ошибок), если .

2) состоятельной, если  сходится к истинному значению параметра  по вероятности, то есть

.

3) несмещенная оценка называется эффективной, если у нее по сравнению с другими несмещенными оценками наименьшая дисперсия

.

Пусть  – какая-либо точечная оценка неизвестного параметра  и пусть найдено число  такое, что выполняется равенство

.                               (4)

Равенство (4) означает, что интервал со случайными границами  с вероятностью  накрывает неизвестное истинное значение параметра .

При этом интервал  называется доверительным интервалом, а вероятность  – доверительной вероятностью (обычно выбирают ).