Свойства характеристических функций

1) ,     .

2) , где – величина комплексно-сопряженная к .

3) Если , то .

4) Если – независимые случайные величины с характеристическими функциями ,  и , то .

5) Если существует , то

Примеры характеристических функций

 Случайная величина  распределена по биномиальному закону, тогда

,    .

Случайная величина  распределена по закону Пуассона с параметром , тогда

.

 Случайная величина  распределена по показательному закону

с параметром , тогда

.

 Если .

 Если .

 Если  – распределение Пирсона с n степенями свободы, то

.

Пример 1.Пусть  принимает значения –1 и 1 с вероятностями  каждое,  имеет показательное распределение с параметром . Вычислить характеристические функции .

Решение.Характеристическая функция случайной величины , закон распределения вероятностей которой имеет вид

	–1	1

равна .

Характеристическая функция случайной величины  равна

 (т.к.  то ).

Тогда, используя свойства характеристических функций, получим

,

где характеристическая функция случайной величины .

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева

Пусть случайная величина  имеет конечную дисперсию . Тогда для любого  справедливо неравенство Чебышева

или

.

Теорема Чебышева

Пусть случайные величины  независимы, существуют ,  и , , – некоторая постоянная.

Тогда для любого  

.

В частности, если все  имеют одно и то же математическое ожидание и дисперсию , то

.

Для биномиального распределения

.

Здесь – вероятность появления события  в одном испытании, ,  – общее число испытаний,  – число испытаний, в которых событие  произошло.

Пример 1.При изготовлении некоторой детали брак равен 5%. Оценить вероятность того, что при просмотре партии в 2000 штук выявляется отклонение доли бракованных деталей от установленного процента брака меньше чем на 1%.

Решение.Воспользуемся формулой .

Здесь , , , .

Тогда .

Пример 2.Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,95, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,1, если .

Решение.Воспользуемся формулой .

Здесь , .

Имеем ,   , .

Квантили случайных величин

Пусть непрерывная случайная величина  имеет функцию распределения , плотность распределения –  и пусть задано число .

Определение.Квантилью уровня  случайной величины  называется такое число , что .

Рис. 4

Обозначим через  квантиль уровня  случайной величины ;

через – квантиль уровня  распределения Пирсона  с  степенями свободы, – квантиль уровня  распределения Стьюдента с  степенями свободы.

Свойства квантилей

1) , ;

2) если  квантиль уровня  случайной величины , то ;

3)  при ;

4) ;

5) ;

6) для малых .