Функции случайных аргументов

Пусть на вероятностном пространстве задана случайная величина  Рассмотрим действительную функцию действительного аргумента , область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины x.

Случайная величина действующая по правилу называется функцией  от скалярной случайной величины x.

Рассмотрим дискретную случайную величину x, которая задана своим законом распределения вероятностей.

	x1	x2	…	xn
Р	p1	p2	…	pn

Тогда  имеет закон распределения вероятностей

При этом, если в верхней строке таблицы появляются одинаковые значения φ(x_i), то соответствующие столбцы нужно объединить в один, приписав им суммарную вероятность.

Пример 1. Закон распределения случайной величины  имеет вид

	–1	0	1	2

Найти законы распределения случайных величин:

1) ,   2) ,  3) .

Решение. 1) Возможные значения случайной величины  найдем, подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины

: , , , .

Вероятности этих значений соответственно равны

, , , .

Так как среди значений  нет повторяющихся, и они расположены в возрастающем порядке, то закон распределения случайной величины  будет иметь вид

	–1	1	3	5

2) Возможные значения случайной величины  найдем, подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины : , , , . Вероятности этих значений соответственно равны , , , .

Среди значений  нет повторяющихся, однако они расположены не в возрастающем порядке. Для получения закона распределения случайной величины  расположим значения  в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины  будет иметь вид

	–1			1

3) Возможные значения случайной величины  найдем,

подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины : , , , . Вероятности этих значений соответственно равны , , , .

Среди значений  есть повторяющиеся . Объединим эти значения в одно, вероятность которого будет равна сумме вероятностей  и , то есть .

Для получения закона распределения случайной величины  расположим значения  в возрастающем порядке. Ряд распределения случайной величины  будет иметь вид

	2	3	6

Если  и  – независимые дискретные случайные величины с возможными значениями  и  то  может принимать значения  Вероятности этих значений равны

.

Зная закон распределения случайной величины  можно по известным формулам найти её числовые характеристики.

Пример 2. Независимые случайные величины  имеют законы распределения

	0	1	2

и

Найти законы распределения случайных величин :

а) ; б) .

Решение.а) Возможные значения случайной величины – это , , , , , .

По теореме умножения вероятностей, вероятности этих значений соответственно равны

,     ,      .

Составим таблицу значений  и соответствующих им вероятностей

	2	4	3	5	4	6

Среди значений  есть повторяющиеся . Объединим эти значения в одно, вероятность которого будет равна сумме вероятностей  и , то есть .

Для получения закона распределения случайной величины  расположим значения  в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины  будет иметь вид

	2	3	4	5	6

б) Возможные значения случайной величины – это , , , , , .

По теореме умножения вероятностей, вероятности этих значений соответственно равны

,      ,       .

Составим таблицу значений  и соответствующих им вероятностей

	0	0	2	4	4	8

Среди значений  есть повторяющиеся  и . Объединим повторяющиеся значения. Вероятности объединенных значений будет равна сумме вероятностей  и , то есть  и сумме вероятностей  и , то есть .

Для получения закона распределения случайной величины  расположим значения  в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины  будет иметь вид

	0	2	4	8

Пример 3.Бросаются 3 монеты. Пусть , если я монета выпала орлом вверх, и  в противном случае, . Найти закон распределения случайной величины .

Решение.1. Определяем пространство элементарных исходов.

Элементарными исходами рассматриваемого случайного эксперимента являются упорядоченные наборы чисел , где  либо нуль, либо единица .

2. Определяем множество возможных значений .

Случайная величина  на элементарном исходе  принимает значение .

3. Составляем таблицу элементарных исходов и соответствующих им значений .

	0	1	0	0	1	1	0	1
	0	0	1	0	1	0	1	1
	0	0	0	1	0	1	1	1
	0	1	1	–1	2	0	0	1

4. Определяем вероятности возможных значений  и строим ее закон распределения.

Всего элементарных исходов . Следовательно, вероятность элементарного исхода равна . Имеем

	–1	0	1	2

Рассмотрим случай непрерывных случайных величин.

Пусть задана n-мерная случайная величина  с плотностью распределения вероятности  и  задана функция . Чтобы определить случайную величину  необходимо уметь вычислять вероятности   для любых . Обозначим через D – множество точек

.

Тогда получим .

    Определение.Скажем, что случайная величина , если для любых ,  

Рассмотрим уравнение  где  дифференцируемая функция и пусть ,  – функции, обратные к функции .

Тогда

;

;

;

.

Для случайного вектора  с плотностью распределения , если , то .

Примеры функций случайных аргументов.

Распределение Пирсона  с  степенями свободы. Пусть  и независимы. Тогда  имеет плотность распределения

где  – гамма-функция.

, .

Распределение Стьюдента с  степенями свободы

,

где , ,  – независимые случайные величины, имеет плотность распределения

;

,   , .

Пример 4. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке . Найти , , , где , .

Решение. Так как случайная величина  равномерно распределена на отрезке , то  

Следовательно,

.

.

Аналогично найдем

.

,

.

Пример 5. Случайная величина  распределена по экспоненциальному закону с параметром . Найти , , , где, , .

Решение. По условию параметр экспоненциального распределения равен 4, следовательно,

.

Аналогично найдем

. Дважды интегрируя по частям, получим .

Пример 6.Плотность распределения случайной величины  равна . Найти плотность распределения  случайной величины .

Решение. Так как функция  строго возрастающая при всех  и имеет обратную, то плотность распределения случайной величины  найдем по формуле

Для этого находим ,   Подставляем эти выражения в формулу, представляющую решение задачи в общем виде. То есть плотность распределения случайной величины  будет равна

.

Пример 7.Плотность распределения случайной величины

равна . Найти плотность распределения  случайной величины .

Решение.1 способ. Решение задачи располагаем в виде двух столбцов: слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа – конкретные функции, соответствующие данному примеру. Учитывая, что, несмотря на разрывный характер функции  обратная функция  однозначна, и решая задачу по правилам для монотонной функции, получаем:

2 способ.

.

Пример 8.Случайная величина  распределена равномерно на интервале [0,2].

Функция  задана графически

Рис. 3

Найти плотность распределения вероятности  случайной величины .

Решение.В данном случае функцию  аналитически можно задать следующим образом:      или

Плотность распределения случайной величины  имеет вид

Для нахождения  воспользуемся формулой .     Тогда

= = .

= ,

где  –функция Хэвисайда.

Итак, .

Пример 9.Случайная точка  распределена равномерно внутри круга радиуса  Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение.Плотность распределения вероятности

=  =

   .  

В приложенияхчасто используется следующая теорема.

     Теорема.Пусть  независимые случайные величины,    Тогда .

     Замечание. Здесь и в дальнейшем запись  означает, что непрерывная случайная величина  имеет плотность распределения вероятности .

Замечание.Операция  называется сверткой функции f₁ и f₂.

Пример 10. Независимые случайные величины  имеют показательные распределения с параметрами  и . Найти плотность распределения случайной величины .

Решение.По условию задачи случайные величины  имеют плотности распределения

и  

Так    как   случайные    величины     независимы, то их совместная плотность распределения

   Случайная величина  может принимать только положительные значения, следовательно

.

Характеристические функции

Характеристической функцией случайной величины  называется математическое ожидание случайной величины , , – вещественный параметр.

Для дискретной случайной величины .

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения

, .