Фотоэлектрическое поглощение.

Суть фотоэффекта заключается в передаче энергии фотона одному из атомных электронов с вылетом последнего из атома с кинетической энергией равной Е_е=Е^/_γ -Е_{K ,} либо Е_е=Е_γ ^/ -Е_L, , где Е_K, Е_L – энергия связи электронов , находящихся на К, L и т.д. оболочках атома. При этом предполагается, что энергия отдачи атома пренебрежимо мала. Энергия связи электронов, находящихся на К-оболочке, для разных элементов находится в диапазоне от 10 до 140 кэВ, на L-оболочке не превышает 30 кэВ, поэтому фотоэффект характерен для фотонов с низкой энергией. Образующиеся свободные электроны с энергией ниже энергии покоя (0,511 МэВ) вылетают из атома преимущественно в направлении перпендикулярном направлению движения первичного фотона, с ростом энергии их угловое распределение вытягивается в направлении первичного фотона, однако никогда с ним не совпадает.

Необходимо отметить, что фотоэффект не возможен на свободном электроне; из законов сохранения энергии и импульса требуется наличие третьего тела, каким выступает атом, хотя на балансе энергии это практически не сказывается. Такое заключение можно подтвердить следующим образом.

Законы сохранения энергии и импульса при полном поглощении фотона электроном можно записать в виде:

Е_γ^/ + mc² = mc²/           (3.17),

 где Е_γ^/, | |=E_γ^/ / c -энергия и импульс фотона до поглощения, –скоростьэлектрона после взаимодействия, mc² – масса покоя электрона, β=v/с. Из указанных соотношений следует, что они могут выполняться только при условии, что скорость электрона после взаимодействия будет равна скорости света, чего для частицы с ненулевой массой невозможно, поэтому для уравновешивания импульсов необходимо третье тело, которым выступает атом. Фотоэффект – типично резонансное явление. На рис. 3.3 для примера приведены сечения фотоэффекта для разных материалов.

Рис.3.3. Сечения фотоэффекта для кислорода, меди и свинца

С наибольшей вероятностью это явление происходит при равенстве энергии фотона энергии электрона, находящегося на соответствующей оболочке. С ростом энергии фотона сечение фотоэффекта резко снижается примерно пропорционально

Е^/_γ^-7/2, при Е^/_γ>>Е_K  оно становится обратно пропорциональным Е^/_γ.

Учитывая резкий спад сечения фотоэффекта при энергии фотонов ниже энергии соответствующего уровня, для фотонов с энергиями Е^/_γ >Е_K  вклад К-оболочки в полное сечение фотоэффекта составляет не менее 80%. Качественно при энергиях фотонов 0,511 МэВ > Е^/_γ > Е_K зависимость сечения фотоэффекта на К-оболочке можно описать формулой Гайтлера:

            τ_К=32 πr_е²(mc²)^7/2Z⁵/(3*137⁴*E^/_γ ^7/2)      (3.18),

 в которой r_е=2,82*10^-15м – классический радиус электрона,  Z – атомный номер вещества, на котором происходит фотоэффект.

При энергиях фотонов Е_γ^/ >> 0,511 МэВ это сечение описывается приближенной  формулой Заутера:

                     τ_К=4πr_е²(mc²)Z⁵/(137*E_γ^/)                       (3.19).

Из формул видно, что фотоэффект играет существенную роль при низких энергиях фотонов и для тяжелых материалов, возрастая с ростом атомного номера как Z⁵.

Энергия первоначального фотона при фотоэффекте разделяется на кинетическую энергию образующегося электрона и энергию ионизации, равную энергии электрона, находящегося на соответствующей оболочке. Последняя затем реализуется в виде энергии фотона, испускаемого при переходе электрона с ниже лежащей электронной оболочки атома на освободившуюся. Это позволяет сечение фотоэффекта представить в виде двух составляющих:

                     τ = τ_e + τ_γ                                     (3.20),

где τ_e - характеризует часть сечения фотоэффекта, приводящую к преобразованию первичной энергии фотона в кинетическую энергию электрона. τ_γ - характеризует преобразование энергии первичных фотонов в энергию характеристического излучения.

Комптоновское рассеяние. 

Комптоновское рассеяние рассматривается как процесс упругого рассеяния фотона с энергией Е_γ^/ на свободном электроне, при котором изменяется энергия Е_γ^/→Е_γ и направление движения первичного фотона , но он не исчезает (Рис.3.4.).

Рис.3.4. Схема комптоновского рассения

Из законов сохранения энергии и импульса при упругом столкновении фотона на покоящемся электроне, записанных в виде соотношений:

Е_γ^/ + mc² = Е_γ + mc²/ ,       (3.21),

 вкоторых Е_γ^/,   и Е_{γ ,}    -энергия и импульс фотона до и   после рассеяния соответственно, (| |=E_γ / c, –скорость электрона после рассеяния, β=v/c), можно получить связь между энергиями фотона до и после столкновения в зависимости от угла рассеяния θ_s при комптоновском рассеянии:

               Е_γ=Е_γ^/ / [ 1+(E_γ^//mc²)*(1-Cosθ_s)]             (3.22).

Из формулы (3.22) следует, что при рассеянии фотона прямо вперед (θ_s=0) энергия фотона не меняется (Е_γ=Е_γ^/), а при рассеянии назад (θ_s=π) энергия рассеянного фотона будет минимальна          (Е_γ = Е_γ^//(1+3,91Е_γ^/), но не меньше 0,255 МэВ независимо от первоначальной энергии фотона. Если энергия фотона Е_γ^/<< mc² , то вторым членом в знаменателе формулы (3.22) можно пренебречь по сравнению с единицей, и тогда при любом угле рассеяния θ_s комптоновское рассеяние происходит без передачи энергии фотона электрону. Этот эффект приводит к накоплению рассеянных фотонов при прохождении в легких средах, когда комптоновское рассеяние является преобладающим эффектом взаимодействия.

Переходя к безразмерным энергетическим переменным ε=Е/mc² и обозначив μ_s=Сos θ_s  , формулу (3.22) можно записать в виде:

                 ε =  ε^//[1+ ε^/(1- μ_s)]       (3.23),

который часто используется в практических расчетах.

Полное микроскопическое поперечное сечение комптоновского рассеяния на свободном электроне, полученное Клейна-Нишины-Таммом из квантовой электродинамики, описывается формулой:

                                      σ(ε^/)=2πr_e² (3.24)

результаты расчетов по которой приведены на рис.3.5.

Рис.3.5. Зависимость полного и парциальных микроскопических поперечных сечений комптон эффекта от энергии фотонов.

Приведенная на рис.3.5 зависимость микроскопического  поперечного сечения комптоновского рассеяния от энергии фотонов показывает, что при энергиях фотонов больших примерно 5 МэВ оно уменьшается обратно пропорционально энергии, при меньших энергиях до примерно 0,05 МэВ зависимость имеет вид σ ~1/ .

В зависимости от атомного номера материала полное микроскопическое поперечное сечение комптон-эффекта в расчете на 1 атом пропорционально числу электронов в атоме Z и вычисляется для данного материала умножением σ (ε^/) на Z.

 Дифференциальное микроскопическое поперечное сечение комптоновского рассеяния, определяющее вероятность фотону с энергией после рассеяния на электроне полететьпод углом θ_s относительно направления движения первичного фотона, показано на рис.3.6 и описывается формулой:

 dσ(ε^/,θ_s)/dΩ=  (3.25)

Рис.3.6. Дифференциальное микроскопическое эффективное поперечное сечение комптоновского рассеяния.       

Из приведенных на рис.3.6 данных по угловому распределению рассеянных фотонов видно, что при низких энергиях фотонов их угловое распределение близко к изотропному; с ростом энергии анизотропия увеличивается и высокоэнергетичные фотоны при рассеянии летят преимущественно вперед. При начальной энергии фотона 10 МэВ доля обратно летящих рассеянных фотонов не превышает 1%.

Дважды дифференциальное эффективное микроскопическое поперечное сечение комптоновского рассеяния может быть получено, используя выражение (3.25) и формулу (3.23), указывающую однозначную зависимость энергии рассеянного фотона от угла рассеяния:

                             dσ(ε^/ → ε , μ_s )/dΩdE=

        = (3.26).

С точки зрения переноса энергии фотонами комптон-эффект представляет собой процесс частичного рассеяния и частичного поглощения энергии в той ее части, которая передается электрону.

Показателем передаваемой электрону энергии фотона служит  средняя относительная потеря фотоном энергии при комптоновском рассеянии:

= (3.27).

Используя эту величину, вводят понятия сечения комптоновского поглощения:

                _а =                           (3.28)

и сечение истинного комптоновского рассеяния

                 _s = - _а .                     (3.29).

На рис. 3.5 приведены зависимости этих парциальных сечений от энергии фотонов, из которых видно, что при низких энергиях фотонов передача энергии фотона электрону мала, а при энергиях выше 1,6 МэВ с ростом энергии фотонов все большая часть энергии фотона переходит в кинетическую энергию электрона.

Описанные выше закономерности взаимодействия фотонов с электроном при комптоновском рассеянии рассматривают рассеяние фотона на электроне, свободном от связи с другими частицами. Это справедливо только при условии, что импульс, передаваемый электрону, намного превышает импульс его первоначального движения в атоме, т.е. λ_е> >λ / Sin (θ_s /2), где l и l_е ‑ первоначальные длины волн соответственно фотона и электрона. Наличие связей и первоначального движения электронов приводит к уменьшению вероятности комптоновского рассеяния и исчезновению жёсткого соотношения между ε^/, ε и q_s (так называемый «binding» эффект).

В этом случае дифференциальное микроскопическое поперечное сечение комптоновского взаимодействия можно рассчитать, введя поправку к распределению Клейна–Нишины-Тамма (формула (3.26):

 dσ_с (ε^/ → ε , μ_s ) / dΩ dE = I(Z,v(μ_s , ε^/)) dσ(ε^/ → ε , μ_s ) / dΩ dE   (3.30),

где I(Z,v(μ_s , ε^/)) ‑ соответствующая нерелятивистская функция рассеяния Хартри‑Фока, учитывающая эффект связи электронов (рис.3.7).

Рис.3.7. Нерелятивистская функция  рассеяния Хартри‑Фока.

Параметр ν – обратная длина волны фотона определяется по формуле ν = Sin(θ_s/2)/λ=кε^/ , в которой к=10^-8 mc²/(h ) =29,1см^-1, а h- постоянная Планка. Максимальное значение ν равно кε^/ =41,2 см^-1 при μ_s= -1.

В отличие от распределения формулы (3.26) в формуле (3.30) появляется зависимость от материала рассеивателя. Эффект учета связи электронов, приводит к уменьшению вероятности рассеяния вперёд (к полному запрету рассеяния по направлению первоначального движения фотона) и к некоторому увеличению вероятности рассеяния относительно первоначального движения g ‑ кванта для небольших энергий и более тяжелых элементов назад.  Функция I(Z,v(μ_s, ε^/)) табулирована для разных элементов.