Использование ограниченности функций.

Рациональные уравнения и методы их решения

Уравнение – это равенство содержащее 1 или несколько переменных, которое истинно при одних значениях переменных и ложно при других их значениях.

Решить уравнение – значит найти все значения переменных, при которых это утверждение превращается в верное числовое равенство, или доказать, что таких значений не существует.

Уравнением с одним неизвестным  называется равенство

Областью определения уравнения называется множество всех значений переменной , при которых одновременно имеют смысл и левая, и правая части уравнения. Область определения уравнения определяется пересечением областей определения функций  и .

Корнем (или решением) уравнения называется всякое число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство . Уравнение может иметь один, два, три и большее число корней, а также бесконечное их множество или не иметь корней вовсе.

Замечание. Решение уравнения считается правильным только в том случае, если найдены все корни уравнения и в процессе решения убедительно доказано, что множество корней именно такое, как указанно в ответе. В частности, метод «угадывания» корней считается правильным, если доказано, что других корней нет.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция,называется целым рациональным уравнением.

       Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x)— многочлены, сводится к решению уравнения P (x) = 0 ипроверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) не= 0.

При решении рациональных уравнений необходимо помнить следующие сведения из алгебры:

1)х=а – корень многочлена Р(х)=0, то Р(х) делится на (х–а) без остатка

2)пусть все коэффициенты многочлена Р(х) – целые числа и старший коэффициент равен1. Если такой многочлен имеет своим корнем рациональное число, то это число целое.

Рациональные уравнения – целые(все преобразования выполняются на области определения уравнения, поэтому получаются равносильные уравнения и проверку не делают);

–дробно–рациональные(при решении дробно–рациональных уравнений Р(х)/Q(x)=0 выполняется умножение на Q(x), что может привести к появлению посторонних корней, поэтому проверку делать необходимо.

Методы их решения

Использование области определения уравнения.

В начале решения уравнения полезно найти область определения уравнения. Если она состоит из нескольких точек, то остается только проверить, какие из них удовлетворяют уравнению. Если область определения – пустое множество, то уравнение не имеет решений. Если же область определения более сложная или ее вычисление связано с трудностями, используется другой метод.

Разложение на множители.

Если в уравнении  функцию  можно разложить на множители, т.е. представить ее в виде произведения нескольких других функций, , то решение исходного уравнения для  сводится к решению совокупности уравнений:

Замена переменной.

Если уравнение можно представить в виде , то заменой  решение исходного уравнения сводится к нахождению корней  уравнения  и последующему решению уравнения  для каждого полученного корня.

Функциональные методы

Использование ограниченности функций.

Некоторые уравнения  таковы, что при любом значении  из области его определения левая и правая части уравнения удовлетворяют условиям  и  соответственно, где некоторое число. Тогда решение уравнения сводится к нахождению значений , для которых одновременно  и .

Если же хотя бы одно из неравенств строго, то исходное уравнение не имеет решений.

5. Использование монотонности функций.Если на некотором промежутке  функции  и , входящие в уравнение  таковы, что  непрерывна и возрастает, а  непрерывна и убывает, то равенство  возможно только при единственном значении , которое и является корнем данного уравнения на рассматриваемом промежутке. Иногда этот корень можно найти подбором.

6. Графический метод. Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций  и , входящих в уравнение . Этот метод, не являющийся строгим решением, может помочь установить:а) существуют ли у данного уравнения корни и сколько их;б) на какие множества следует разбить область определения уравнения, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения.