Определение работы, затрачиваемой на выкачивание жидкости из сосуда

    К этому моменту мы предполагаем, что вы немного освоились с методом составления интегральных сумм, поэтому рассуждения станут менее подробными.

    Пусть имеется сосуд глубины H, заполненный жидкостью с плотностью ρ (Фиг. 14). Будем считать, что ось Z направлена перпендикулярно поверхности жидкости, а начало оси находится на ее поверхности. Предполагаем, что площадь сечения сосуда плоскостью, перпендикулярной оси Z, является известной функцией S(z). Требуется определить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда.

                             Фиг. 14.

    В начале, определим работу , которую необходимо затратить на выкачивания слоя толщины , лежащего на глубине от z до .

Толщину слоя  считаем малой величиной. При выкачивании этот слой поднимется на высоту, приближенно равную z. Следовательно, работа  оценивается величиной , где  - вес этого слоя. В свою очередь , где  - объем слоя. Объем указанного слоя приближенно равен . Тогда . Суммируя по всем слоям и переходя к пределу, получаем

    .

Пример. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотности  из сосуда, имеющего форму сферы (Фиг. 15) радиуса R.

                           Фиг. 15.

    Площадь сечения S(z) равна S(z)= . По теореме Пифагора

. Следовательно =

=

    Определение времени вытекания жидкости из сосуда

Постановка задачи. Имеется сосуд (Фиг. 16) глубины H, в дне которого имеется отверстие площади F . Требуется определить время вытекания жидкости из данного сосуда.

             Фиг. 16.

    Ось Z направим перпендикулярно свободной поверхности жидкости, а ее начало совместим с уровнем отверстия. Предположим, что площадь сечения сосуда плоскостью, перпендикулярной оси Z, является известной функцией S(z). Напомним, что скорость v вытекания жидкости из отверстия   вычисляется по формуле , где h – уровень свободной поверхности жидкости над отверстием.

    Оценим время , за которое жидкость опустится с уровня

до уровня . Объем жидкости в таком слое  оценивается соотношением . Скорость вытекания жидкости v в этот момент оценивается величиной . Объем  жидкости, вытекшей за время  примерно равен . Из условия равенства  и  получаем оценку времени , за которое жидкость опустится с уровня

до уровня : .

    Тогда полное время t  вытекания жидкости из сосуда равно

    .

    Пример. Найти время вытекания жидкости из цилиндрического сосуда радиуса R, высоты H, в дне которого имеется отверстие площади F .

    Площадь сечения цилиндрического сосуда S(z) - постоянная величина равная - . Тогда

.