Вычисление силы давления жидкости на вертикально погруженную в нее пластину

    Пусть имеется пластина, вертикально погруженная в жидкость

 (Фиг. 12). Будем предполагать, что ось Z  перпендикулярна свободной поверхности жидкости, а ее начало совпадает со свободной поверхностью. Верхний край пластины находится на глубине , нижний на глубине . Пусть ширина пластины  в направлении, перпендикулярном оси Z, - переменная, являющаяся известной функцией = . Плотность жидкости обозначим . Требуется определить силу давления жидкости на пластину. (Напомним из курса физики, что давление на глубине z равно , где  - ускорение свободного падения.)

                                     Фиг. 12

    Разделим пластину на n частей прямыми, параллельными свободной поверхности: , , …, , ,…., .

Обозначим .

 Оценим - значение силы, действующей на часть пластины, лежащую между прямыми  и .

  Если  достаточно мало, то давление  на таком узком слое можно приближенно считать постоянным и принять равным . Сам слой можно приближенно считать прямоугольным, а его площадь  принять равной . Тогда значение силы  можно выразить соотношением .

Следовательно, суммарная сила F, действующая на пластину приближенно равна . Полученная сумма является интегральной суммой для функции на отрезке .

Окончательно получаем .

    Пример. Найти силу давления жидкости плотности  на вертикально погруженную в нее пластину, имеющую форму трапеции с верхним основанием а, нижним основанием b, высотой h, если верхнее основание находится на поверхности воды.

    Поскольку пластина имеет форму трапеции, то ее ширина  является линейной функцией z вида . Так как , , то .

Следовательно

.

    Вычисление работы переменной силы

    Пусть переменная сила F(x) перемещает точку по прямой из положения x=a в положение x=b. Требуется определить работу, совершенную данной силой. Разобьем весь путь из положения x=a в положение x=b на n частей точками , , …, , ,…., . Обозначим .

Работу по перемещению из положения  в обозначим . Если  достаточно малая величина, то силу при перемещении из положения  в  можно приближенно считать постоянной и равной . Тогда значение . Тогда полная работа  приближенно равна - .

Полученная сумма является интегральной суммой для функции F(x) на отрезке . Следовательно, выражение для работы может быть записано в виде .

Пример. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы вытащить из жидкости плотности  конус радиуса R, высоты H, плотности , если в начальный момент вершина конуса находится на поверхности, а плоскость основания параллельна поверхности жидкости.

Решение. Ось Z направим перпендикулярно поверхности жидкости, а ее начало поместим на ее поверхности (Фиг. 13).

                             Фиг. 13

    При вытаскивании конуса, вершиной будет пройден путь от z=0 до z=H.

Найдем зависимость силы F(z). Пусть конус поднят над поверхностью жидкости на высоту z. Найдем зависимость силы F(z). На конус действуют: 1) сила тяжести, равная  и направленная вниз; 2)выталкивающая сила жидкости, равная весу жидкости, вытесненной погруженной частью конуса , направленная вверх.

    При вытаскивании конуса сила F(z) должна уравновешивать сумму этих сил. Следовательно .

Получаем

.