Абсолютная сходимость влечет сходимость.

То есть, если сходится интеграл от модуля подынтегральной функции , то сходится интеграл от самой этой функции .

    При использовании второго признака сравнения часто возникают интегралы вида , где .

    Необходимо помнить:

 сходится при ;

 расходится при . (Докажите самостоятельно непосредственным вычислением)    

Пример. Исследовать сходимость. .

Исследуем характер поведения функции на бесконечности.

Рассмотрим функцию . При больших значениях  имеем

= .

Тогда порядок поведения функции на бесконечности определяется выражением

~ .

Напомним, что мы можем пренебречь любым конечным отрезком.

Рассмотрим функции  и .

Имеем,  сходится, так как .

Рассмотрим

= .

Следовательно, по второму признаку сравнения, оба интеграла сходятся.

Пример.Исследовать сходимость .

Для исследования сходимости данного интеграла в начале исследуем сходимость интеграла от модуля подынтегральной функции . Поскольку , то .

    Рассмотрим .

.

Следовательно, несобственный интеграл является сходящимся, а поскольку , то, и силу первого признака сравнения,  также сходится. Из абсолютной сходимости исследуемого интеграла, делаем вывод, что и  является сходящимся.

    В заключение сделаем еще два замечания, касающиеся несобственных интегралов первого рода.

    1.Несобственный интеграл вида  определяется аналогичным образом, а именно = .

    2.Несобственный интеграл, у которого оба предела интегрирования бесконечны ( ), определяется равенством

    .

При этом несобственный интеграл  является сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла ( ) в правой части. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то  считается расходящимся.

    Пример.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. .

(Мы выбрали , но могли взять и любое другое число, например ноль.)

Исследуем отдельно каждый из интегралов в правой части.

.

.

Следовательно = .

Пример.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. .

Этот интеграл является расходящимся, и нет никакой необходимости исследовать второй интеграл. Можно сразу сделать вывод, что  является расходящимся.

    Несобственные интегралы второго рода.

    До настоящего момента, при вычислении определенного интеграла, мы считали, что подынтегральная функция является непрерывной на всем отрезке, и как следствие этого, ограниченной. Несобственные интегралы второго рода возникают в тех случаях, когда функция не является непрерывной на отрезке интегрирования.

    Пусть функция  непрерывна на полуинтервале , а в точке  имеет особенность. (Например,  является точкой разрыва, или .)

    В этом случае для любого  существует определенный интеграл .

Несобственный интеграл  определим следующим образом:

= .

При этом, если указанный предел существует, то несобственный интеграл  называется сходящимся, а его значение принимается равным значению предела.

    Если  не существует, или равен бесконечности, то  называется расходящимся.

Если функция  непрерывна на полуинтервале , а в точке  имеет особенность, то несобственный интеграл  определяется следующим соотношением:

= .

Если функция  непрерывна на интервале , а в точках  имеет особенности, то несобственный интеграл  определяется следующим соотношением (как сумма двух несобственных интегралов):

= , где  - любое число из интервала .

При этом исходный интеграл называется сходящимся, если сходится каждый из интегралов в правой части соотношения. Если хотя бы один из них расходится, то и исходный интеграл называется расходящимся.

    Наконец, если функция  на отрезке  имеет особенности в точках , где , то несобственный интеграл  определяется следующим соотношением:

.

При этом, если хотя бы один из интегралов в правой части является расходящимся, то и весь интеграл считается расходящимся.

    Ниже будут сформулированы свойства и признаки сходимости несобственного интеграла второго рода. При их формулировке мы будем предполагать, что функция  непрерывна на полуинтервале  и имеет особенность в точке . Отметим, что эти свойства во многом похожи на аналогичные для несобственных интегралов первого рода.

    Опять полезно учитывать, что вопрос сходимости или расходимости несобственного интеграла первого рода определяется поведением подынтегральной функции в окрестности точки . Это означает, что при исследовании сходимости интеграла  мы можем исследовать сходимость интеграла  для любых .

    Для несобственных интегралов от неотрицательных функций важную роль играют признаки сравнения, которые мы сформулируем ниже.

    Первый признак сравнения.

 Пусть имеются непрерывные при  функции  и . При этом  при .

Тогда,

1) если  сходится, то и  тоже сходится, при этом .

2) если  расходится, то и  тоже расходится.

Второй признак сравнения.

Пусть имеются непрерывные при  функции  и . При этом  при , и существует конечный ненулевой предел . Тогда либо оба интеграла  и  сходятся, либо оба расходятся. (То есть не может быть такой ситуации, когда один интеграл сходится, а другой расходится.)

Для несобственных интегралов от знакопеременных функций часто бывает полезен следующий факт.