Отметим, что при замене переменной меняется не только подынтегральное выражение, но и пределы интегрирования.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

Приборостроения и информатики

Кафедра высшей математики

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

(решение задач)

Учебное пособие для студентов всех форм обучения для самостоятельной подготовки к выполнению контрольных работ.

Москва 2005

Составитель: к.ф.м.н., доцент Выборнов А.Н..

В пособии рассмотрено понятие определенного интеграла, методы вычисления определенных интегралов, а также несобственные интегралы, геометрические и механические приложения определенных интегралов. Пособие составлено на основе пособия МГУПИ для заочного отделения (авторы: Баланкина Е.С., Головешкин В.А., Каримова Н.А., Меренкова Т.В., Соркина Л.И., Якобовская И.М.) Составителем  отредактировано изложение теоретических положений и некоторых методов решения задач. Пособие может использоваться как дополнительное пособие по развитию навыков решения задач.

    Прежде чем перейти к непосредственному решению примеров, напомним некоторые факты теоретического курса.

    Начнем с самого понятия определенного интеграла.

                          Фиг.1

    Пусть на отрезке  задана функция . Разобьем отрезок  на  частей (фиг.1) точками ( ). 

Обозначим , где  - длина отрезка . На отрезке  выберем произвольную точку . Вычислим значение функции  в этой точке . Интуитивно понятно, что величина  при малом значении  будет не очень сильно отличаться от площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями . Тогда сумма таких площадей по всем отрезкам разбиения будет близка к площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями .

    Теперь перейдем к более строгим рассуждениям. Назовем интегральной суммой  сумму вида = .

Заметим, что значение интегральной суммы зависит и от способа разбиения и от способа выбора точек . Введем еще одну характеристику разбиения – параметр , где  -длина наибольшего из отрезков разбиения , то есть

.

    Определение. Если существует предел интегральных сумм при , и этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от способа выбора точек , то функция  называется интегрируемой на отрезке , а значение предела называется определенным интегралом от данной функции по отрезку , и обозначается .

    Таким образом = .

    Возникает естественный вопрос, а существуют ли вообще такие функции, для которых это понятие имеет смысл. Мы не будем приводить доказательство, а просто сформулируем известный факт: «Всякая функция, непрерывная на отрезке, является интегрируемой по этому отрезку». (Отметим, что непрерывными функциями не исчерпывается класс интегрируемых функций.)

        Сформулируем свойства определенного интеграла. При формулировке свойств мы будем предполагать, что речь идет о функциях, интегрируемых по отрезку.

 1. , где А – постоянная величина.

2. .

3. .

Кроме того, по определению полагают

.

 при .

    Далее перейдем к формуле Ньютона-Лейбница, которая устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом.

    Пусть функция  является первообразной для функции , то есть .

Тогда

- это соотношение и называется формулой Ньютона-Лейбница .

    Символически это часто записывается следующим образом

Если ,то .

Запись  -читается «эф от икс в подстановке от а до бэ», а математически эта подстановка означает

.

Следовательно, при известной первообразной вычисление определенного интеграла не должно представлять принципиальных затруднений, если не считать, конечно, таковыми подстановку чисел в известную формулу.

    Найти. .

(Мы использовали то, что функция  является первообразной для функции .)

    Приведем еще два метода, которые используются достаточно часто при вычислении определенных интегралов.

    Формула интегрирования по частям.

Напомним, что в случае неопределенного интеграла формула интегрирования по частям записывалась в виде

    .

Для определенного интеграла имеем

    .

    Формула замены переменной.

Пусть требуется вычислить  и сделана замена переменной интегрирования , где  - монотонная непрерывная функция на отрезке , имеющая непрерывную производную на этом отрезке.

Тогда .

Отметим, что при замене переменной меняется не только подынтегральное выражение, но и пределы интегрирования.

    Далее перейдем к решению задач.

    Пример. Вычислить

Найдем первообразную функции . При ее вычислении воспользуемся методом интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

Отметим, что при вычислении определенного интеграла значение произвольной постоянной не играет роли, поэтому мы положили ее значение равным нулю.

Тогда =

= .

На всякий случай, напомним: 1) ; 2) .

    Пример. Вычислить .

При решении этого примера воспользуемся методом интегрирования выражений вида  в случае, когда оба показателя степени четные.

= .

Следовательно = .

    Пример. Вычислить .

При решении этого примера воспользуемся методом интегрирования выражений вида  в случае, когда, по крайней мере, один из показателей степени является нечетным числом.

Сделает замену переменных . Тогда , . Определим новые пределы интегрирования. Имеем: , ; , .

Следовательно, =

= .

Пример. Вычислить .

Воспользуемся методом интегрирования выражений вида  и сделаем замену переменной . Тогда , , .

Определим новые пределы интегрирования: ; .

Следовательно = .

Пример. Вычислить .

Данный интеграл перепишем в виде  и сделаем замену . Тогда . Определим новые пределы интегрирования: ; .

    Следовательно .

Выражение  является правильной рациональной дробью, и может быть представлено как сумма простейших рациональных дробей в виде:

.

Приводя левую и правую части к общему знаменателю и, отбрасывая его, получаем

.

Для определения неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений

Решая эту систему, получаем .

Тогда

.

Следовательно

= =

= .

    Пример. .

Сделаем замену переменной , . Тогда . Определим пределы интегрирования: .

Получаем

= = .

(Мы воспользовались: 1) формулой суммы кубов , в данном примере ; 2) свойством логарифма , в данном примере ).

Пример. Вычислить .

Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Пусть , , тогда , .

Получаем

.

Воспользуемся еще один раз формулой интегрирования по частям: , ; , .

Имеем

=

= .

Пример. Вычислить .

Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Пусть , , тогда , .

Получаем

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

        Рассматриваются два типа несобственных интегралов – несобственные интегралы первого и второго рода.

К несобственным интегралам первого рода относят интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Поясним суть этого понятия.

Пусть функция  определена и непрерывна при всех . Тогда для любого числа  существует определенный интеграл вида . Ранее мы имели дело с определенными интегралами, в которых пределы интегрирования были конечными числами. Теперь попытаемся расширить наши возможности в том плане, что пределы интегрирования могут быть бесконечными.

Рассмотрим . Этот предел может быть конечным числом, может быть бесконечным, может вообще не существовать. Так вот если  существует и равен конечному числу, то  называется сходящимся и равным этому пределу, а если  не существует или равен бесконечности, то  называется расходящимся. Если быть вполне строгим, то выражение вида  имеет смысл только в том случае, если интеграл является сходящимся. Однако мы будем пользоваться этим выражением во всех случаях, а уже потом будем выяснять, является ли данный интеграл сходящимся или нет.

Пример.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.

= .

Пример.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

= .

Пример.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.

.

Следовательно, данный интеграл расходится.

    При исследовании несобственных интегралов первого рода очень часто основную роль играет вопрос, сходится ли данный интеграл или он расходится. В решении этого вопроса полезно учитывать, что вопрос сходимости или расходимости несобственного интеграла первого рода определяется поведением подынтегральной функции на бесконечности.

Это означает, что любой конечный отрезок влияет лишь на значение интеграла, но не влияет на вопрос его сходимости. То есть при исследовании сходимости интеграла  мы можем исследовать сходимость интеграла  для любых .

    Для несобственных интегралов от неотрицательных функций важную роль играют признаки сравнения, которые мы сформулируем ниже.

    Первый признак сравнения.

Пусть имеются непрерывные при  функции  и . Пусть при этом  при всех .

Тогда,

1) если  сходится, то и  тоже сходится, при этом .

2) если  расходится, то и  тоже расходится.

Второй признак сравнения.

Пусть имеются непрерывные при  функции  и . При этом  при , и существует конечный ненулевой предел . Тогда либо оба интеграла  и  сходятся, либо оба расходятся. (То есть не может быть такой ситуации, когда один интеграл сходится, а другой расходится.)

Для несобственных интегралов от знакопеременных функций часто полезен следующий факт.