Критерии проверки и оценка решений задания 18 ЕГЭ–2018

Задание №18 – это уравнение, неравенство или их системы с параметром.

Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:

– чисто алгебраический способ решения;

– способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;

– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.

Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трех перечисленных способов.

Задача 18 (демонстрационный вариант 2018 г).

Задача 1

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

 имеет ровно три различных корня.

Решение.

Исходное уравнение равносильно уравнению  
при условии .

Решим уравнение :

;

; ,

откуда ,  или .

Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны
и для каждого из них выполнено условие .

Рассмотрим условия совпадения корней. При  имеем .
При  имеем . При остальных значениях  числа 0,
,  различны.

При  получаем:  при всех значениях .

При  получаем:

.

Это выражение неотрицательно при .

При  получаем:

.

Это выражение неотрицательно при .

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при

; ; .

Ответ: ; ; .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек   и/или	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Получены корни уравнения : , , ; и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии  ( )	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Задача 2.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если , то получаем уравнение

;

;

.

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке  
и радиусом .

2) Если , то получаем уравнение

; ; .

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке  
и радиусом .

Полученные окружности пересекаются в двух точках  и , лежащих на прямой , поэтому в первом случае получаем дугу  с концами в точках  и , во втором — дугу  с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую , которая проходит через точку  и угловой коэффициент которой равен .

При  прямая  проходит через точки  и , то есть исходная система имеет два решения.

При  прямая  перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая  касается дуги  в точке  и пересекает дугу  в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.

При  прямая  перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая  касается дуги  в точке  
и пересекает дугу  в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.

При  или  прямая  пересекает каждую из дуг  и  в точке  
и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.

При  прямая  пересекает дугу  в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу  в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.

При  прямая  пересекает дугу  в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу  в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет ровно два решения при .

Ответ: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек  и/или	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4