Критерии проверки и оценка решений задания 16 ЕГЭ–2018

Задание №16 – это планиметрическая задача. В пункте а теперь нужно доказать геометрический факт, в пункте б – найти (вычислить) геометрическую величину.

Задача 16 (демонстрационный вариант 2018 г).

Задача 1.

В трапеции  боковая сторона  перпендикулярна основаниям.
Из точки  на сторону  опустили перпендикуляр . На стороне  отмечена точка  так, что прямые  и  перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите отношение  к , если .

Решение. а) Поскольку , около четырёхугольников  и  можно описать окружности (рис. 1). Значит, , то есть прямые  и  параллельны.
б) Опустим из точки  перпендикуляр   на прямую (рис. 2). Стороны  и  треугольников  и  лежат на одной прямой, а стороны  и ,  и  попарно параллельны. Значит, треугольники  и  подобны. Поскольку

коэффициент подобия равен . Значит,

.

Ответ: б) .

Задача 2.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике  на продолжение боковой стороны  опущена высота . Из точки  на сторону  и основание  опущены перпендикуляры  и  соответственно.

а) Докажите, что отрезки  и  равны.

б) Найдите , если , .

Решение.

а) Поскольку , около четырёхугольника  можно описать окружность с диаметром . Получаем: , поэтому  как хорды, стягивающие равные дуги.

б) В прямоугольных треугольниках  и  имеем:

.

Поскольку , получаем:

.

Ответ: б) .

Примеры оценивания решений задания 16

Пример 1.

В трапеции  боковая сторона  перпендикулярна основаниям.
Из точки  на сторону  опустили перпендикуляр . На стороне  отмечена точка  так, что прямые  и  перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите отношение  к , если .

Ответ: б) .

Комментарий.

Имеется попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи 5) – при вычислении угла : . Замена угла  углом  возможна только при условии параллельности прямых  и , а как раз это и требовалось доказать.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 2.

В трапеции  боковая сторона  перпендикулярна основаниям.
Из точки  на сторону  опустили перпендикуляр . На стороне  отмечена точка  так, что прямые  и  перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите отношение  к , если .

Ответ: б) .

Комментарий.

В данном решении есть попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи  – это возможно только при параллельности прямых  и , а как раз это и требовалось доказать. Верный ответ в пункте б получен обоснованно с использованием недоказанного утверждения пункта а.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 3.

В трапеции  боковая сторона  перпендикулярна основаниям.
Из точки  на сторону  опустили перпендикуляр . На стороне  отмечена точка  так, что прямые  и  перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите отношение  к , если .

Ответ: б) .

Комментарий.

Логическая ошибка: доказательство утверждения пункта а опирается на дополнительное условие из пункта б.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 4.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике  на продолжение боковой стороны  опущена высота . Из точки  на сторону  и основание  опущены перпендикуляры  и  соответственно.

а) Докажите, что отрезки  и  равны.

б) Найдите , если , .

Ответ: б) .

Комментарий.

Доказательство утверждения пункта а верно. Правда, следует отметить, что в доказательстве получено много верных утверждений, которые не нужны для доказательства равенства отрезков  и , кроме того некорректно формулируется признак подобия треугольников.

В решении пункта б допущена ошибка при вычислении длины отрезка  – вместо  должно быть .

Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 5.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике  на продолжение боковой стороны  опущена высота . Из точки  на сторону  и основание  опущены перпендикуляры  и  соответственно.

а) Докажите, что отрезки  и  равны.

б) Найдите , если , .

Ответ: б) .

Комментарий.

Доказательство утверждения пункта а отсутствует. Решение пункта б выполнено верно с использованием недоказанного утверждения пункта а.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 6.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике  на продолжение боковой стороны  опущена высота . Из точки  на сторону  и основание  опущены перпендикуляры  и  соответственно.

а) Докажите, что отрезки  и  равны.

б) Найдите , если , .

Ответ: б) .

Комментарий.

В доказательстве утверждения пункта а есть некорректное утверждение – «  – биссектриса», при этом тут же записаны утверждения, соответствующие медиане прямоугольного треугольника.

Решение пункта б выполнено верно.

Оценка эксперта: 3 балла.