Критерии проверки и оценка решений задания 14 ЕГЭ–2018

Задание 14 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. Для получения 2 баллов нужно, чтобы были выполнены оба пункта, а для получения 1 балла хватает выполнения одного из этих пунктов.

Задача 14 (демонстрационный вариант 2018 г).

Задание 1

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6, а боковое ребро  равно 3. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём . Точка  — середина ребра . Плоскость  параллельна прямой  и содержит точки  и .

а) Докажите, что прямая  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .

Решение.

а) Проведём через точки  и  прямые, параллельные . Пусть эти прямые пересекают рёбра  и  в точках  и  соответственно (рис. 1). Тогда трапеция  является сечением исходной призмы плоскостью . Рассмотрим плоскость . Пусть эта плоскость пересекает прямые ,  и  в точках ,  и  соответственно. Четырёхугольник  — прямоугольник, причём , .

Кроме того, , , откуда , . Пусть  — высота трапеции  (рис. 2), тогда

. Поскольку , , то есть прямые  и  перпендикулярны.

Прямая  параллельна прямой , которая перпендикулярна плоскости . Значит, прямые  и  перпендикулярны прямой , поэтому прямая  перпендикулярна плоскости .

б) Расстояние от точки  до плоскости  равно , а площадь трапеции  равна

.

Значит, искомый объём равен .

Ответ: б) .

Задание 2

Основанием четырёхугольной пирамиды  является трапеция , причём . Плоскости  и  перпендикулярны плоскости основания,  — точка пересечения прямых  и .

а) Докажите, что плоскости  и  перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды  равна 9.

Решение.

а) Заметим, что . Плоскости  
и  перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой, содержащей высоту пирамиды. Значит,  — высота пирамиды. Таким образом, угол  является линейным углом двугранного угла между плоскостями  
и . Значит, они перпендикулярны.

б) Поскольку , трапеция  является равнобедренной. Значит,

;

.

Таким образом, площадь треугольника  равна ,
а объём пирамиды  равен .

Ответ: б) 12.

Примеры оценивания выполнения задания 14

Пример 1.

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6, а боковое ребро  равно 3. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём . Точка  — середина ребра . Плоскость  параллельна прямой  и содержит точки  и .

а) Докажите, что прямая  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .

Ответ: б) .

Комментарий.

Доказательство утверждения в пункте а недостаточно обоснованно. С использованием утверждения пункта а верно получен ответ в пункте б.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 2.

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6, а боковое ребро  равно 3. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём . Точка  — середина ребра . Плоскость  параллельна прямой  и содержит точки  и .

а) Докажите, что прямая  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .

Ответ: б) .

Комментарий.

Утверждение в пункте а не доказано. В основе решения пункта б лежит не обоснованное утверждение.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 3.

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6, а боковое ребро  равно 3. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём . Точка  — середина ребра . Плоскость  параллельна прямой  и содержит точки  и .

а) Докажите, что прямая  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .

Ответ: б) .

Комментарий.

Доказательство утверждения в пункте а содержит неточности. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 4.

Основанием четырёхугольной пирамиды  является трапеция , причём . Плоскости  и  перпендикулярны плоскости основания,  — точка пересечения прямых  и .

а) Докажите, что плоскости  и  перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды  равна 9.

Ответ: б) 12.

Комментарий.

Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 1 балл.

Комментарий.

Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б допущена ошибка и получен неверный ответ.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 6.

Основанием четырёхугольной пирамиды  является трапеция , причём . Плоскости  и  перпендикулярны плоскости основания,  — точка пересечения прямых  и .

а) Докажите, что плоскости  и  перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды  равна 9.

Ответ: б) 12.

Комментарий.

Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 1 балл.