Краткие теоретические сведения

И технической диагностики»

для студентов всех форм обучения

направления подготовки 051000.62 Профессиональное обучение
(по отраслям) профиля подготовки «Транспорт»

профилизации «Сервис и эксплуатация автомобильного транспорта»

Екатеринбург 2012

Задания к контрольной работе по дисциплине дисциплины «Основы теории надежности и технической диагностики» и методические указания для ее выполнения №1. Екатеринбург, ФГАОУ ВПО «Рос. гос. проф.- пед. ун-т», 2012. 22 с.

Составитель доцент кафедры автомобилей С.С. Скачкова

Одобрены на заседании кафедры автомобилей. Протокол от 16.10.2012 г. № 2.

Заведующий кафедрой                                                       В.П. Лялин

Рекомендованы к печати методической комиссией Машиностроительного института РГППУ. Протокол от 10.11.2012 г. № 3.

Председатель

методической комиссии МаИ                                         А. В. Песков

© ФГАОУ ВПО «Российский

государственный профессионально- педагогический университет»

© Скачкова С.С., 2012

Введение

Надежность автомобилей является одним из важнейших условий, определяющих ритмичную и устойчивую работу транспортных систем.

Выполнение контрольных работ имеет своей целью помочь студенту  усвоить исходные положения теории надежности и получить первые навыки практических расчетов показателей надежности применительно к автомобильному транспорту. 

Приступая к выполнению контрольных работ, студент должен, прежде всего, усвоить основные термины и определения теории надежности: работоспособное и исправное состояния, виды и характеристики отказов технических устройств, восстанавливаемое и невосстанавливаемое изделия, предельное состояние, наработка и продолжительность эксплуатации, ресурс, срок службы и др.

Далее необходимо восстановить в памяти основные положения теории вероятности: случайное событие, вероятность события, статистическую вероятность (частоту), случайная величина, распределение случайной величины, среднее значение и математическое ожидание случайной величины, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, функцию распределения, плотность распределения, законы распределения, теоремы о числовых характеристиках случайных величин, случайную функцию. Важно усвоить связь между вероятностью и статистической вероятностью (частотой) события, средним значением и математическим ожиданием случайной величины.

 Контрольная работа содержит три задания. В первом задании предложено ответить на теоретический вопрос.

Во втором задании выполняется расчетное определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах
изделия. Необходимо рассчитать: вероятность безотказной работы, среднюю наработку до отказа и интенсивность отказов.

Эти показатели обычно рассчитываются для невосстанавливаемых объектов, а для восстанавливаемых - только применительно к периоду эксплуатации до первого отказа. Тем не менее, эти показатели достаточно широко используются для оценки безотказности как на стадии проектирования и испытания объектов, так и при их эксплуатации. 

Умение рассчитывать указанные показатели дает студенту ключ к расчету других единичных и комплексных показателей надежности и формирует понимание основных закономерностей изменения исправности и работоспособности подвижного состава автомобильного транспорта.

В третьем задании производится аналитическое определение количественных характеристик надёжности изделия. Необходимо выполнить анализ изменения вероятности безотказной работы на заданном интервале времени, при известном законе распределения отказов. Навыки, полученные при проведении таких анализов необходимы для  выполнения априорных аналитических расчетов надежности, оценки показателей надежности сложных технических систем, выборе допустимых значений диагностических параметров при изучении теоретических основ диагностики автомобилей. 

Расчетные графики выполняются в масштабе на отдельном листе формата А4. При выполнении контрольной работы используется рекомендованная литература. Список используемой литературы необходимо привести в конце работы.

Задания и методические указания для их выполнения

Задание 1. Ответить на вопрос

Номер вопроса первого задания выбирается из приведенной ниже
таблицы 1 по номеру студента по списку группы, или указываются преподавателем индивидуально. Объем ответа на теоретический вопрос не должен превышать пяти листов формата А4.

Таблица 1 – Вопросы контрольного задания

Задание 2. Расчетное определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах технического объекта.

Выбор вариантов задания производится соответственно номеру зачетной книжки по таблицам 2-3.

Краткие теоретические сведения

К характеристикам надежности невосстанавливаемых технических объектов относятся вероятность безотказ­ной работы P(t), средняя наработка до отказа Т_ср, плотность распределения наработки до отказа (частота отказов) f(t), интенсивность отказов l(t). Рассмотрим эти показатели более подробно. Приведем вероят­ностные и статистические определения

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет, т. е. технический объект не откажет в течение времени t или что время Т, работы до отказа технического объекта больше времени его функционирования t. Вероятность безотказной работы является убывающей функ­цией времени.

Если считать, что машина может находиться только в одном из двух состояний, относящихся к работоспособности (работо­способном или неработоспособном), то вероятность безотказной работы P(t) можно связать с вероятностью отказа следующими соотношениями:

P (t) + F (t) = 1 или P(t) = 1 - F(t),                                           (1)

где F(t) — вероятность отказа, равная вероятности того, что на­работка до отказа будет меньше текущего значения t.

Показатели надежности, определенные по статистическим данным об отказах, полученным из эксперимента или эксплуатации, в дальнейшем будем обозначать звездочкой.

Статистически вероятность безотказной работы для наработки t определяется по формуле:

,                                                                    (2)

где N_р(t) - число изделий, работоспособных на момент времени  t;

N₀ – число всех изделий, поставленных на испытания.

Среднее время безотказной работы является интегральным по­казателем надежности

.                                                                            (3)

Статистическая оценка Т*_ср может быть получена по результатам наблюдения за эксплуатацией машин следующей зависимостью:

                                                                     (4)

где N₀ — число испытуемых образцов техники; t_i — время безот­казной работы i-го образца.

Формула (4) не несет в себе методической ошибки, однако расчеты с ее помощью обычно трудоемки и часто приводят к неверным результатам в силу технических ошибок.

Упростить и ускорить вычисления можно путем использования преобразования результатов наблюдений (совокупности значений t_i) в статистический ряд. С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений наработок делят на m интервалов или «разрядов» и подсчитывают
число попаданий n_j, приходящихся на каждый j-й интервал.

Для расчета среднего значения случайной величины в качестве «представителя» всех ее значений, принадлежащих j -му интервалу, принимают его середину`t _j. Тогда средняя наработка до отказа определяется как

,                                                                         (5)

где q_j – статистическая вероятность попадания наработки в j -й интервал, расчет которой производится по формуле, аналогичной формуле (2):

.

Плотность распределения наработки до отказа(частота отказов) наиболее полно характеризует надежность техники в дан­ный момент (точечная характеристика). Она связана с вероятностью отказа и без­отказной
работы изделия соотношением:

.                                                     (6)

Статистически f(t) определяется отношением числа отказав­ших образцов изделий в единицу времени к числу испытуемых образцов при условии, что отказавшие образцы не восполняются исправными:

,                                                     (7)

где N_р(t) - число изделий, работоспособных на момент времени  t;

N_р (t + Dt) – число изделий, работоспособных на момент времени (t + Dt);

N₀ — число образцов, первоначально поставлен­ных на испытания.

Интенсивность отказовl(t) – условная плот­ность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник. Ее определя­ют как отношение плотности распределения к вероятности безот­казной работы объекта:

.                                                                     (8)

Другими словами, интенсивность отказов характеризует долю изделий, отказывающих в единицу времени, начиная с момента времени t, отнесенную к числу изделий, работоспособных в мо­мент t.

Статистически интенсивность отказов есть отношение числа отказавших образцов техники в единицу времени к среднему чис­лу образцов, исправно работающих на интервале [t, t + Dt]:

                                               (9)

где N_р(t) - число изделий, работоспособных на момент времени  t;

N_р (t + Dt) – число изделий, работоспособных на момент времени (t + Dt);

 — среднее число исправно работающих образцов на интервале [t, t + Dt].

Условия задания 2.1. В таблице 2 приведены значения наработок до отказа в находившейся под контролем партии топливных форсунок дизелей автомобилей. Требуется определить статистические вероятности безотказной работы Р*(t) и отказа F*(t) форсунки для заданного значения времени t, указанного в таблице 2.

Затем для заданной наработки t требуется рассчитать математическое ожидание числа работоспособных устройств `N_р (t) при общем объеме партии находившихся в эксплуатации форсунок N_п, указанном в таблице 3.

Таблица 2 - Значения наработки устройства до отказа и заданные
значения времени t

Таблица 3 - Объем партии форсунок

Методические указания к заданию 2.1. Наработка исследуемых топливных форсунок до отказа есть непрерывная случайная величина. По результатам испытания (наблюдения и эксплуатации) партии из N₀  
 устройств получена дискретная совокупность Т наработок до отказа из значений t₁, …, t_i, …, , указанных в таблице 2.

Статистически вероятность безотказной работы форсунки для наработки t определяется по формуле

,

где N_р(t) - число форсунок, работоспособных на момент времени  t, оноравно количеству значений наработок, приведенных в таблице 2, превышающих t.

При выполнении расчетов необходимо быть очень внимательным, поскольку полученные результаты используются в последующем, и ошибка на первом шаге приводит к неверным результатам всех последующих вычислений.

Вероятность отказа форсунки за наработку t статистически определяется как

,                                                                           (10)

где N_нр(t) - число форсунок, неработоспособных к наработке t, оно равно количеству значений наработок, приведенных в таблице 2, значения которых меньше t.

Поскольку N_р(t) + N_нр(t) = N₀, нетрудно видеть, что сумма вероятностей: P*(t) + F*(t) = 1. Подсчет этой суммы используйте для проверки правильности своих вычислений.

Будем считать, что условия опыта, включающего N₀  наблюдений, позволили однозначно определить вероятность безотказной работы форсунки, т.е. P*(t) = P(t) = 1 - F(t). Здесь F(t) - функция распределения случайной величины «наработка до отказа», определяющая вероятность события T ≤ t при N₀ → ∞ . 

Тогда с учетом формулы (2) математическое ожидание числа форсунок `N_p(t), работоспособных к наработке t, определяется как 

`N_p(t) =  Р*(t) N_п

где N_п - объем партии, приведенный в таблице 3.

Пример:

Имеем следующий массив из N₀ = 50 значений наработки до отказа Т·10^-3, ч: 5, 10, 6, 7, 2, 5, 5, 9, 12, 4, 1, 6, 8, 7, 4, 3, 11, 4, 6, 5, 7, 8, 3, 4, 6, 8, 7, 11, 6, 1, 5, 2, 7, 6, 9, 2, 5, 9, 4, 6, 8, 10, 5, 1, 7, 9, 3, 8, 1, 4.

Заданное значение t = 7,5·10³ ч.

Заданное значение объема партии N_п = 650.

Число форсунок, работоспособных к этому времени N_р(t) = 15 (значения наработок, превышающих заданное значение отмечены курсивом).

 Статистически вероятность безотказной работы форсунки для наработки 7,5·10³ ч:

Статистическая вероятность отказа форсунки за наработку 7,5·10^-3 ч:

Проверка: P*(7,5·10³) + F*(7,5·10³) = 0,3 + 0,7 = 1.                                     

Математическое ожидание числа форсунок `N_p(t), работоспособных к наработке t = 7,5·10³ ч:

`N_p(t) =  Р*(t) N_п =0,3*650 = 195.

Условия задания 2.2. Требуется рассчитать среднюю наработку до отказа Т_ср рассматриваемых форсунок. Первоначально вычисления произвести непосредственно по выборочным значениям Т, указанным в таблице 2, а затем с использованием статистического ряда. Оценить ошибку вычислений при использовании статистического ряда.

Методические указания к заданию 2.2. Для вычислений среднего значения Т_ср случайной величины Т непосредственно по ее выборочным значениям t₁, t₂, …, t_i, …,  используют формулу (4)

Уточним, что здесь N₀ равно количеству значений наработок в массиве Т в таблице 2 для заданного Вам варианта.

Для выполнения второй части задания 2.2 преобразуем результаты наблюдений (массива Т значений t_i) в статистический ряд. Разобьем весь диапазон наблюдаемых значений наработок форсунок на m интервалов и подсчитаем число попаданий n_j, приходящихся на каждый j-й интервал.

Результаты такого преобразования удобно записывать в форме, соответствующей таблице 4. Длины ∆t всех интервалов чаще всего принимают одинаковыми, а число разрядов m обычно устанавливают порядка 10. Для выполнения данного задания примите ∆t = 3*·10^-3 ч, а m = 4.

Нижнюю границу первого интервала Т₀ установите, пользуясь таблицей 2.

Пример:

Для примера в таблице 4 указаны результаты систематизации в виде статистического ряда 100 значений случайной величины, распределенной на интервале [8,5·10³ ч; 20,5·10³ ч] для тех же условий, т.е. Т₀ = 8,5·10³ ч;  ∆t = 3·10³ч,  m = 4.

Заполнять таблицу несложно. Последовательно просматривая массив значений {t_i}, оценивают, к какому интервалу относится каждое число. Факт принадлежности числа к определенному интервалу отмечают чертой в соответствующей строке таблицы. Затем подсчитывают n₁, …, n_j,…, n_m - число попаданий значений случайной величины (число черточек) соответственно в 1-й, …, j-й,…, m-й интервал. Правильность подсчетов определяют, используя следующее соотношение:

.

Границы интервала должны соответствовать совокупности значений t_i таблицы 2.

Таблица 4 - Преобразование значений наработки до отказа в
статистический ряд

Статистический ряд следует изобразить графически, как показано на
рисунке 1.

Рисунок 1 – Статистический ряд наблюдений

С этой целью по оси абсцисс отложите интервалы, и на каждом интервале постройте прямоугольник, высота которого равна статистической вероятности попадания случайной величины на данный интервал. Здесь T₀, …, T_j, …, T_m соответственно верхние границы 1-го, …, j-го, …, m-го интервалов.

Статистическая вероятность  q_j попадания случайной величины на
j-й интервал рассчитывается как

.

Подсчитайте значения  q_j для всех разрядов и проверьте правильность расчетов, используя выражение

.

Для расчета среднего значения случайной величины в качестве «представителя» всех ее значений, принадлежащих j-му интервалу, принимают его середину`t_j. Тогда средняя наработка форсунок до отказа определяется по формуле

.                                                                                

Расчет с использованием данной формулы вносит некоторую методическую ошибку. Однако ее значение обычно пренебрежимо мало. Эту ошибку в ваших расчетах оцените по формуле

,

где Т_ср(I) и Т_ср (II) - средние значения наработки до отказа, соответственно вычисленные непосредственно по выборочным значениями и определенные с использованием статистического ряда.

Условия задания 2.3. Требуется рассчитать интенсивность отказов форсунок λ(t) для всех 4-х интервалов и  ∆t = 3·10^-3ч.

Методические указания к заданию 2.3.Статистически интенсивность отказов есть отношение числа отказавших образцов техники в единицу времени к среднему чис­лу образцов, исправно работающих на интервале
[t, t + Dt]:

Вычислим значения интенсивности отказов l*(t), воспользовавшись выражением, преобразовав его следующим образом:

где N_срi — среднее число работоспособных объектов на временном интервале i,  

  n_i — число отказов за период Dt в данном интервале.

Пример:

В примере, приведенном в таблице 4, на первом временном интервале произошло 15 отказов, при этом в начале интервала число исправных форсунок N(0) = N₀ = 100, а в конце интервала N (100) = N₀ - 15 = 85. Тогда

На втором интервале

Интенсивности отказов l*₃  и l*₄ определяются аналогично.