Связь отображений с разбиением множества на классы

Рассматриваемое понятие отображения тесно связано с понятием разбиения множества на классы (см. п. 3.3. раздела 3).

Пусть F — отображение множества X в множество Y. Собрав в один класс все элементы из X, образы которых в Y совпадают, мы получим, очевидно, некоторое разбиение множества X. Обратно, рассмотрим произвольное множество X и некоторое его разбиение на классы.

Пусть Y — совокупность тех классов, на которые разбито множество X. Ставя в соответствие каждому элементу x X   тот класс (т.е. элемент из Y), к которому x принадлежит, мы получим отображение множества X на множество Y.

Примеры 6.1.8.

1) Спроектируем плоскость XOY на ось х. Прообразы точек оси х — вертикальные прямые. Следовательно, этому отображению отвечает разбиение плоскости на параллельные прямые.

2)Разобьем все точки трехмерного пространства на классы, объединив в один класс точки, равноудаленные от начала координат. Каждый класс представляет собой сферу некоторого радиуса. Совокупность всех этих классов можно отождествить с множеством всех точек, лежащих на луче [0, +∞). Итак, разбиению трехмерного пространства на концентрические сферы отвечает отображение этого пространства на полупрямую.

3) Объединим в один класс все действительные числа с одинаковой дробной частью. Этому разбиению отвечает отображение прямой линии на окружность единичной длины (это отображение можно представить как результат наматывания нити (числовой прямой) на катушку с единичной длиной окружности катушки. Тогда каждой точке (дробной части) на катушке будет соответствовать множество точек на «намотанной» на катушку прямой).

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение отображения

2. Приведите свои примеры отображений, заданных на числовых и нечисловых множествах

3. Дайте определение функции, последовательности, тождественного и постоянного отображений

4.  Приведите пример отображения, для выбранного отображения укажите образы и прообразы выбранных точек и множеств.

5. Являются ли биективными отображения  y = sin x, y = x+2, y = x⁴ ?

6. Сформулируйте и докажите признак обратимости отображений

7. Сформулируйте основные свойства отображений. Приведите примеры

8. Как связаны отображения и разбиение множества на классы?