Понятие отображения. Примеры (частные случаи) отображений

Раздел 6. Введение в математический анализ.

Тема 6.1. Отображения

6.1.1.Понятие отображения. Примеры (частные случаи) отображений

6.1.2.Сложное отображение. Сужение отображения

6.1.3. Образ и прообраз точки и множества при отображении.

6.1.4. Обратимое отображение. Обратное отображение

6.1.5.Сюръективное и инъективное отображения. Биекция

6.1.6.Критерий обратимости отображений

6.1.7.Основные свойства отображений

6.1.8. Связь отображений с разбиением множества на классы

Программные положения

Понятие отображения является одним из ключевых в математическом анализе. С другой стороны без понятия отображения в психологии невозможно, например, создание корректно работающих тестов.

Методические рекомендации

 Внимательно ознакомьтесь с текстом лекции. Приведите свои примеры разных видов отображений. Обратите внимание, что отображение– это не один объект, а три, причем для равенства отображений необходимо совпадение всех трех.

Примите к сведению, что функция – один из видов отображений, но не единственный, соответственно, понятие отображения является более общим.

Рекомендуемая литература

Контрольные вопросы

1. Дайте определение отображения

2. Приведите свои примеры отображений, заданных на числовых и нечисловых множествах

3. Дайте определение функции, последовательности, тождественного и постоянного отображений

4.  Приведите пример отображения, для выбранного отображения укажите образы и прообразы выбранных точек и множеств.

5. Являются ли биективными отображения  y = sin x, y = x+2, y = x⁴ ?

6. Сформулируйте и докажите признак обратимости отображений

7. Сформулируйте основные свойства отображений. Приведите примеры

8. Как связаны отображения и разбиение множества на классы?

Понятие отображения. Примеры (частные случаи) отображений

Наряду с понятиями множества и элемента в математике первичным понятием является понятие соответствия. Это понятие неявным образом присутствует и в понятии множества, поскольку понятие множества предполагает, что каждый элемент данного множества обладает определенным свойством, отличающим его от элементов, не входящих в это множество. Иначе говоря, каждому из рассматриваемых элементов поставлено в соответствие некоторое свойство, позволяющее судить о том, является этот элемент элементом данного множества или нет. Среди всевозможных соответствий важную роль в математике играют соответствия, называемые отображениями. Опишем эти соответствия.

Определение 6.1.1.

Отображение F множества X в множество Y - это правило, которое каждому элементу  x , принадлежащему множеству X  , сопоставляет некоторый, но единственный для данного х , элемент y из множества Y. x называется аргументом отображения (независимой переменной), а F(x)=y – его значением (соответственно, зависимой переменной. Множества  X  и Y необязательно являются числовыми.

Обозначения:      F : X→Y («F действует из множества X в множество Y»)

                      y = F(x)

                         x  F(x)

                         {F(x)}  , X- множество индексов, x – значок, индекс

Синонимами отображения являются «правило, сопоставляющее…», «оператор», «морфизм», «семейство», «оператор», «функционал», «функция» (используется в частных случаях).

Иногда, как например в классическом учебнике А.Н.Колмогорова и С.В.Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа», термин «функция» используется в широком смысле вместо или параллельно с термином «отображение» . В этом случае отображения обозначаются, как традиция предписывает для функций, строчными латинскими буквами: f : X→Y («f действует из множества X в множество Y»)

y = f(x).

Примеры 6.1.1.

1) Х = { множество студентов 1 курса ВЕИП отделения дистанционного обучения}

Y = {2, 3, 4, 5}

F(x) – экзамен по курсу «Высшая математика»

2) X={1, 2, …n } Y={ множество студентов 1 курса ВЕИП отделения дистанционного обучения } F(x) – нумерованный список студентов, расположенных, например, по алфавиту

3) X = { множество студентов 1 курса ВЕИП отделения дистанционного обучения } Y = {множество преподавателей ВЕИП} F(x) – научный руководитель

4) X = Y = (- ∞, ∞), F(x) = 5x + 4

5) X и Y – множества непрерывных функций, F – оператор дифференцирования

Замечания 6.1.1.

1) Задать отображение - значит задать 3 объекта: X – множество задания отображения, Y – множество его значений и F – собственно правило. То есть, задать (X,Y,F). 

2) Если у нас имеется другое отображение , то есть другая тройка (X’, Y’ F’), то совпадать они будут только в случае равенства всех трех элементов троек:

X = X’ они заданы на одном множестве 

Y = Y’ они действуют в одно и то же множество

 F = F’ действуют одинаково, то есть  x X    F(x) = F’(x)

 Например, пусть 1.X = Y = (- ∞, + ∞) F(x) = |x|

                          2.X’ = Y’ = (- ∞, + ∞) F’(x) =

эти два отображения  совпадают

                                                3. Отображение F’’(x)  = с ними не совпадает, поскольку X’’ = (0, + ∞)

     3)    Отображение F можно определить и как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар (x, y)   X Y), которое удовлетворяет следующему условию: для любого x  X существует единственный элемент y Y такой, что (x , y)  F

Частными случаями отображений являются:

1. Функции

Функция – это отображение (X,Y,F), где множество Y – числовое, то есть  x X    F(x) – число (действительное или комплексное)

2. Последовательности

     Последовательность – это отображение (X,Y,F), где множество Х – множество натуральных чисел. Чтобы задать такую последовательность, достаточно задать таблицу

Такая таблица однозначно определяет отображение, задающее совокупность

{F(1),F(2),F(3),…, F(n),… }, она же { F₁ , F₂, F₃, …, F_n, …}.

Если же множество Y является числовым, последовательность называется числовой и может рассматриваться как частный случай функции. Примером может служить, скажем, арифметическая прогрессия, каждый элемент которой выражается через его порядковый номер n: a_n = a₁ + (n – 1)d

Вообще, любую последовательность чисел a₁, a₂, a₃, . . . можно рассматривать как множество значений некоторой функции y = F(n), причем областью изменения независимого переменного при этом является множество натуральных чисел. Только ради сокращения записи принято обозначать n-й член последовательности символом a_n, вместо того чтобы употреблять более отчетливое функциональное обозначение F(n). Выражения

S₁(n) = 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)

S₂(n) = 1² + 2² + . . . + n² = n(n + 1)(2n + 1)

S₃(n) = 1³ + 2³ + . . . + n³ = n2(n + 1)2

являются функциями целого переменного n.

3. Конечные упорядоченные наборы

Конечный упорядоченный набор – отображение, в котором в роли множества X выступает отрезок натурального ряда. X = {1, 2, 3, …, m}

Соответствующая ему таблица имеет вид:

Если m = 2 X = {1, 2} и (F₁ , F₂) – упорядоченная пара, 

m = 3  X = {1, 2, 3} и  (F₁ , F₂, F₃) – упорядоченная тройка,

И т.д

Не стоит путать эти наборы с конечными множествами, поскольку они, в отличие от множеств, являются упорядоченными

4. Тождественные отображения

Тождественное (идентичное) отображение – это (X, Y, F), где  X=Y и F(x) = x,  x X   

Обозначение: отображение F = id_X – тождественное на X, id_X (x) = x , x X   

5. Постоянные отображения

Постоянное отображение –  это отображение, ставящее любому аргументу в соответствие одно и то же значение F: X Y y₀ Y  x X   F(x) = y₀

6. Семейство

Семейство – совокупность {F(x)}  = {F_x} , где  X- множество индексов, x – значок, индекс, «номер» (если множество X числовое). Обычно в роли индексного множества выступают множества натуральных или целых чисел.