Сложное отображение. Сужение отображения

Определение 6.1.2. (1)

Пусть F: X → Y

      G: Y → Z, то есть отображение G определено на области значений Y отображения F

Тогда отображение H: X →Z по правилу H(x) = G(F(x)) = G[F(x)] называется сложным отображением или суперпозицией (композицией) отображений F и G (обратите внимание: именно в таком порядке!) и обозначается H (x)= (G ◦ F)(x)

Операцию композиции иногда приходится проводить несколько раз подряд. Заметим, что эта операция ассоциативна, то есть, H ◦(G◦ F) = (H ◦G) ◦F

H ◦ G ◦F (x) = H((G ◦ F)(x) = H(G(F(x))) = (H ◦ G)(F(x)) = ((H ◦G)◦ F)(x)

Пример 6.1.2 (1).

Пусть X={1,2,…,n} Y={студенты 1 курса ВЕИП отделение дистанционного обучения} Z = {темы курсовых работ студентов 1 курса}

F(x) – каждому номеру ставится в соответствие фамилия студента, например по алфавитному принципу, т.е. формируется список

G(y) – каждому студенту ставится в соответствие тема курсовой работы

Тогда композиция отображений H (x)= (G ◦ F)(x) – нумерованный список тем курсовых работ

Определение 6.1.2 (2)

Пусть отображение F: X →Y, .

Отображение называется сужением отображения F , если выполняется . Обозначение .

Примеры 6.1.2 (2).

1) Пусть X={1,2,…,n} Y={студенты 1 курса ВЕИП отделение дистанционного обучения} F(x) – нумерованный алфавитный список студентов. ([n/2], если n – нечетное)

- список первой половины курса

2) X = Y=(-∞, +∞), F(x) = x² .

= [0, +∞),

Образ и прообраз точки и множества при отображении.

Определения 6.1.3.

1)Если а — элемент из X, то отвечающий ему элемент b = F(a)  из Y называется образом  точки а (при отображении F).

2)Совокупность всех тех элементов а из X, образом которых является данный элемент b  Y, называется прообразом (или, точнее, полным прообразом) элемента b и обозначается F^-1(b).

3)Пусть А — некоторое множество из X,  совокупность {F(а): а  A} всех элементов вида F(а), где a  А, называется образом А и обозначается F(A).

4) В свою очередь для каждого множества В из Y определяется его полный прообраз F^-1(B), а именно: F^-1(B)есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат В. (см.рис.6.1.3.)

 Рис. 6.1.3.

Может оказаться, что ни один элемент b из В не имеет непустого прообраза, тогда и прообраз F^-1(B)будет пустым множеством.

Примеры 6.1.3.

1)Пусть X = Y = (- ∞ , + ∞), F(x) = x³ . a = 2 X , F(a) = a³ = 2³ = 8 Y – образ точки 2 при отображении F

b=64 Y F^-1(64) = 4 X – прообраз точки 64 при отображении F

A= [2,4], B = F(A) = [8, 64] – образ множества А при отображении F

Обратимое отображение. Обратное отображение

Определение 6.1.4.

Отображение F называется обратимым, если существует отображение G такое, что:

 G(F(x)) = x

F(G(y)) = y

Такое отображение G называется обратным (к) отображению F и обозначается         G = F^-1  (обратите внимание: (-1) – не показатель степени, а специальное обозначение для обратного отображения).

Замечания 6.1.4.

1) G – обратное к F , это означает, что G ◦ F = id_X , F ◦ G = id_Y

2) F^-1 (B) – прообраз множества B при отображении F, в то же время

F^-1 (B) – образ множества B при обратном отображении F^-1 .

Формально они разные, но всегда совпадают.

Сюръективное и инъективное отображения. Биекция

Определения 6.1.5.

1) Сюръекция

Отображение называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на ), если каждый элемент множества является образом хотя бы одного элемента множества , то есть . Для случая числовых функций это выражается как «функция, принимающая все возможные значения».

2)Инъекция

Отображение множества в множество ( ) называется инъекцией (или вложением), если разные элементы множества переводятся в разные элементы множества , то есть,

3) Биекция (биективное отображение, взаимно однозначное соответствие)

Отображение называется биекцией, если оно является одновременно и инъекцией, и сюръекцией . То есть, F переводит разные элементы множества X в различные элементы множества Y, кроме того, полным образом множества X является множествоY .

Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:

1. Переводит разные элементы множества в разные элементы множества (инъективность). Иными словами,
• .
2. Любой элемент из имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
• .

Примеры 6.1.5.

1)Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множеством английских и русских слов. Это соответствие не является функциональным (так как одному английскому слову, как правило, ставится в соответствие несколько русских слов); кроме того, оно практически никогда не является полностью определенным: всегда можно найти английское слово, не содержащееся в данном словаре.

2) Позиция на шахматной доске представляет собой взаимно однозначное соответствие между множеством оставшихся на доске фигур и множеством занятых ими полей. 

3)Различные виды кодирования — кодирование букв азбукой Морзе, представления чисел в различных системах счисления, секретные шифры, входящие и исходящие номера в деловой переписке и др. — являются соответствиями между кодируемыми объектами и присваиваемыми им кодами. Эти соответствия, как правило, обладают всеми свойствами взаимно однозначного соответствия, кроме, быть может, одного — сюръективности. Единственность образа и прообраза в кодировании гарантирует однозначность шифровки и дешифровки. Отсутствие сюръективности означает, что не всякий код имеет смысл, т. е. соответствует какому- либо объекту. Например, кодирование телефонов г. Санкт-Петербурга семизначными номерами не сюръективно, так как некоторые семизначные номера не соответствуют никаким телефонам.