Критерий обратимости отображений

Теорема 6.1.6. Критерий обратимости отображений

F: X→Y. Отображение F обратимо тогда и только тогда, когда F является биекцией.

Иными словами, отображение F обратимо (т.е. F – биективное отображение (т.е. F является сюръективным и инъективным). То есть, необходимо доказать по сути четыре утверждения

Пример 6.1.6.

Пусть X={1,2,…,n} Y={студенты 1 курса ВЕИП отделение дистанционного обучения}

F(x) – каждому номеру ставится в соответствие фамилия студента, например по алфавитному принципу, т.е. формируется список. Для того, чтобы стало возможным обратное действие, т.е. определение номера по фамилии студента, необходимо и достаточно, чтобы:

- разным номерам соответствовали разные студенты (по одному студенту на номер)

- у каждого студента был свой номер

Доказательство

1) F обратимо F биекция

определим Тогда F(x) =F(G(y)) = y (по определению обратимого отображения). Таким образом, такой, что F(x)=y, т.е. F – сюръекция (по определению)

G(F(x₁)) = x₁

G(F(x₂)) = x₂, x₁ ≠ x₂  (по определению обратимого отображения),

т.е. в разных точках F(x₁ ) и F(x₂)отображение G имеет разные значения,

, и является инъективным

2) F обратимо  F биекция

Отображение F – биекция, то есть оно сюръективно и инъективно

F – сюръективно, значит такой, что F(x)=y

F – инъективно, поэтому такой x единственный, то есть,

, единственный, такой что F(x)=y.

Тем самым определено отображение G: Y→ X   G(y) = x_y  (единственное решение уравнения y = F(x)).

Проверим, что это обратное отображение:

F(G(y)) = F (x_y ) = y   для   как G(y) = x_y  - решение уравнения F(x)=y (из определения отображения G)

G(F(x)) = G(y) = x, так как G(y) – единственное решение уравнения F(x)=y (из определения отображения G), а равенство G(y) другому значению x’ приводит к противоречию:

G(y) = x’≠x  F(G(y)) = y = F(x’) ≠ F(x) = y.

Тем самым теорема доказана.

Основные свойства отображений

Теорема 6.1.7.(1)

 Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов:

F^-1(A U В) = F^-1(A) U F^-1(В)

Доказательство. Пусть элемент x принадлежит множеству F^-1(A U В). Это означает, что F(x)  A U В, т.е. F(x)  А или F(x)  B. Но тогда х принадлежит по крайней мере одному из множеств F^-1(A) или F^-1(В), т.е. х  F^-1(A) U F^-1(В).

Обратно, если х  F^-1(A) U F^-1(В), то х принадлежит по крайней мере одному

из множеств F^-1(A) или F^-1(В), т.е. F(x) принадлежит хотя бы одному из множеств А или В, следовательно, F(x) A U В, но тогда х  F^-1(A U В)

Теорема 6.1.7.(2)

Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:

F^-1(A ∩ В)= F^-1(A) ∩ F^-1(В)

Доказательство. Если х  F^-1(A ∩ В), то F(x)  A ∩ В, т.е.

F(x) А и F(x)  B, следовательно, х  F^-1(A ) и х  F^-1(В), т.е.

х F^-1(A) ∩ F^-1(В)

Обратно, если х F^-1(A) ∩ F^-1(В), т. е. х  F^-1(A ) и х  F^-1(В),

то F(x) А и F(x)  B. Иначе говоря, F(x)  A ∩ В. Следовательно,

х  F^-1(A ∩ В)

Теорема 6.1.7.(3)

Образ суммы двух множеств равен сумме их образов

F(A U В) = F(A) U F(В)

Доказательство. Если у F(AU В), то это означает, что у = F(x), где x принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В. Следовательно, у = F(x) F(A) U (В)

Обратно, если

у  F(A) U F(B), то y=F(x), где x принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В, т.е. х   AU В и, следовательно, у = F(x) F(AU В).

Теорема 6.1.7.(4)

Образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов.

(Замечание: Оборот «вообще говоря» используется в математических выкладках в смысле  «как правило», «обычно», «обратное нетипично».)

Приведем контрпример, подтверждающий утверждение.  Рассмотрим, например, отображение - проектирование плоскости на ось x. Тогда отрезки  (0≤x≤1, y = О) и  (0≤x≤1 , y = 1)  не пересекаются, а в то же время их образы совпадают.