Подобие гидромеханических процессов

Лекция 4

Моделирование технологических процессов

Для проектирования новых и оптимизации существующих аппаратов необходимо знание в них полей w, р, Т и с_i. Определить эти поля можно было бы двумя способами: теоретическим и экспериментальным. Теоретический способ – решение дифференциальных уравнений, составляющих исчерпывающие описание процессов переноса. Задача труднодостижимая. Экспериментальный способ дорогой, трудоемкий и технически сложный.

В связи с этим в инженерной практике получил подход, называемый моделированием.

Моделирование– это изучение объекта-оригинала с помощью замещающей его модели, включающей построение модели, ее исследование и перенос полученных результатов на объект - оригинал.

Объект-оригинал – объект, свойство которого подлежат изучению методом моделирования.

Модель – объект, отражающий свойства оригинала и заменяющий его при проведении исследований.

Наибольшее распространение в инженерной практике получила математическое и физическое проектирование.

Математическое моделирование

Математическое моделирование – исследование процессов или явлений на основе математических моделей.

Математической моделью процессов является исчерпывающее математическое описание процессов переноса. Но эти модели сложные, уравнения, в основном, не решаются. Поэтому их упрощают, путем оценки значимости членов. Если этот способ невозможен (члены уравнения одного порядка), то сознательно огрубляют исчерпывающие описание процесса. Например: трехмерное описание приводит к одномерному – от входа в аппарат к выходу. При этом коэффициенты переноса заменяются на некие параметры модели. Описание этих параметров, т.е. идентификация модели, проводят путем сопоставления результатов физического и численного экспериментов.

Любая модель неполно отображает оригинал. Поэтому следующим этапом моделирования является проверка адекватности модели - соответствия ее моделируемому объекту. Это достигается путем сопоставления результатов моделирования с численным либо физическим экспериментом.

Если модель в недостаточной степени соответствует оригиналу, проводят ее коррекцию.

Конечным этапом математического моделирования является использование полученной модели для описания объекта, либо уже существующего, либо проектируемого.

Итак, этапы математического моделирования:

- составление математической модели;

- идентификация модели;

- проверка адекватности модели, при необходимости коррекция;

- использование модели для описания объекта-оригинала.

Современное материальное обеспечение математического моделирования – компьютеры, возможности которых велики.

Физическое моделирование

Физическое моделирование проводится на основе экспериментального изучения материальных моделей объекта. При этом возникают три проблемы:

- какую модель использовать (форма, размер, среда),

- какие характеристики измерять,

- как перенести результаты исследования с модели на объект.

Эти проблемы решаются с помощью теории подобия, являющейся теоретической основой физического моделирования.

Теория подобия

Подобие в широком смысле – это возможность распространения результатов экспериментов с модели на оригинал. В узком смысле подобие – это тождественность описания полей соответствующих величин модели и оригинала в обобщенных переменных или, по-другому, постоянство отношения сходственных величин модели и оригинала. Далее подобие будем понимать в узком смысле.

Подобные объекты описываются одной системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности (геометрическое подобие, временное подобие, подобие физических величин, подобие начальных и граничных условий).

Геометрическое подобие – постоянство отношения всех сходственных линейных размеров модели и оригинала.

,                   (2.88)

где  и  - сходственные линейные размеры модели и объекта;  - константа геометрического подобия.

Временное подобие (гомохранность) – постоянство отношения сходственных интервалов времени модели и оригинала:

.                   (2.89)

Если =1, то имеем синхронность.

Подобие физических величин – постоянство отношения физических величин для модели и оригинала в сходственных точках в сходственные моменты времени:

.                  (2.90)

Подобие модели и объекта предполагают подобие полей физических величин:

 - гидродинамическое подобие (подобие полей скоростей);

 - тепловое подобие (подобие полей температуры);

 - концентрационное подобие (подобие полей концентраций).

Подобие начальных условий – подобие полей всех физических величин в начальный момент времени.

Подобие граничных условий – постоянство отношения соответствующих величин на границах модели и оригинала.

Константа подобия – отношения одноименных величин модели и оригинала. Они постоянны для различных сходственных точек подобных систем.

Инварианты подобия – безразмерные отношения величин, характеризующих модель или оригинал. Инварианты подобия – еще называют обобщенными или безразмерными переменными.

Симплексы подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин:

.                        (2.91)

Критерии подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения разнородных, сложных величин:

Например

.                    (2.92)

Определяющие критерии подобия составлены из величин, входящих в условия однозначности. Определяемые критерии подобия содержат величины, которые необходимо определить.

Наиболее простой метод получения критериев подобия заключается в следующем: дифференциальные уравнения приводятся к безразмерному виду делением всех членов на один из них. Полученные комплексы являются критериями подобия.

Теоремы подобия:

1. Подобные объекты характеризуются численно равными критериями подобия.

2. Решение дифференциального уравнения (уравнений) описывающего объект, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

3. Объекты подобны, если они описываются одной системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и их определяющие критерии равны.

Математическая зависимость между критериями и симплексами подобия, характеризующая данный процесс переноса субстанции, называется критериальным уравнением:

φ .                       (2.93)

Если определяемый критерий , то получаем:

.                   (2.94)

Обычно критериальные уравнения имеют вид степенной зависимости:

  .                 (2.95)

Величины А, а₁, а₂, …, в₁, в₂ … - определятся экспериментально.

Если какой-либо из определяющих критериев слабо влияет на определяемый критерий, то его исключают из уравнения.

Подобие гидромеханических процессов

Запишем для вертикальной оси z уравнения Навье – Стокса:

              (2.96)

Уравнение (2.96) преобразуем следующим образом: отбросив знаки математических операторов, делим одну часть уравнения на другую и находим критерии подобия.

,                (I)

~ ,                (II)

ρg,     (III)

,        (IV)

.     (V)

Члены в правой части уравнения разделим на :

, ,                (2.97)

где Fr – критерий Фруда.

Этот критерий отражает влияние сил тяжести на движение жидкости, является мерой отношения сил инерции и тяжести.

, ,                   (2.98)

где Eu– критерий Эйлера. Критерий Эйлера является мерой отношения сил поверхностного давления и инерции.

, ,                 (2.99)

где Re – критерий Рейнольдса. Критерий Рейнольдса является мерой отношения сил инерции и вязкого трения.

Внутри левой части уравнения имеем:

               (2.100)

где Но – критерий гомохронности (для неустановившегося движения).

Все критерии, симплексы, константы подобия безразмерные величины.

Для гидродинамического подобия двух явлений требуется:

Г_i =idem (i=1,2,3…n),

Re = idem, Eu = idem, Fr = idem, Ho = idem.        (2.101)

Решение уравнения Навье – Стокса может быть представлено критериальным уравнением вида:

f(Re, Ho, Eu,Fr)=0.                              (2.102)

В ряде случаев (течение жидкости по трубе, например) последнее уравнение должно быть дополнено симплексами подобия:

f(Re, Ho, Eu, Fr, Г_i)=0.                        (2.103)

Обычно определяют Δp, тогда

Eu= f(Re, Ho, Fr, Г_i).                           (2.104)

Для установившихся процессов критерий гомохронности Ho = 0 и должен быть исключен из уравнений, а критерием Fr можно пренебречь вследствие того, что сила тяжести мала по сравнению с силами инерции и вязкого трения. Таким образом, зависимость (2.104) сводится к виду:

Eu = f(Re, Г_i).                             (2.105)

При развитых турбулентных режимах, в зоне автомодельности сопротивления трения по критерию Re, зависимость еще более упрощается и принимает вид:

Eu= f(Г_i).                          (2.106)

Результаты экспериментальных данных обрабатываются, обычно, в виде степенной зависимости:

.                (2.107)

Константы A, a_i определяются экспериментально.

Рассмотрим подобие граничных условий. Вязкий поток импульса через границу раздела фаз  можно определить по закону Ньютона:

.                       (2.108)

Тот же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности w_x на границе и в ядре потока среды:

,                      (2.109)

где γ – коэффициент импульсоотдачи.

Тогда получим:

.                  (2.110)

Проведя формальное преобразование получим:

,                                  (2.111)

где l – характерная линейная величина,  - гидродинамический критерий Нуссельта.

Гидродинамический критерий Нуссельта является безразмерной формой коэффициента импульсоотдачи. Поскольку поле скорости w_x однозначно определяет коэффициент γ, решение уравнений Навье – Стокса можно представить следующим образом:

= f_г(Re, Ho, Fr, Г_i).                               (2.112)

Для многих практически важных случаев число определяющих критериев может быть сокращенно. Влияние силы тяжести на w_x зачастую можно пренебречь и исключить критерий Фруда. Для стационарных процессов исключается критерий гомохронности. Процесс импульсоотдачи может стать автомодельным и по отношению к критерию Рейнольдса.

Подобие тепловых процессов

Для полного описания конвективного переноса теплоты необходимо присоединить к уравнению Фурье-Кирхгофа уравнение Навье-Стокса и неразрывности, а также алгебраическое уравнение зависимости вязкости от температуры. Однако, это трудно разрешимая задача. Поэтому рассмотрим подобие.

Критерии подобия тепловых процессов выводятся из уравнения Фурье-Кирхгофа:

.      (2.113)

Преобразуем уравнение Фурье-Кирхгофа формальным, но простым способом, отбрасывая знаки математических операторов:

(I),     ,      (II)

.                                (III)

Далее, разделив одну часть уравнения на другую, находим критерии подобия.

,                        (IV)

.                                (2.114)

Критерий Фурье  характеризует распространение теплоты теплопроводностью при изменении температуры во времени, является аналогом критерия гомохронности Ho.

,      .             (2.115)

Критерий Пекле Pe характеризует отношение между интенсивностью переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью в движущемся потоке.

Рассмотрим подобие граничных условий.

Тепловой поток на границе раздела фаз можно выразить с помощью уравнения Фурье:

.                       (2.116)

Тот же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности температур на границе и в ядре потока жидкости

,                     (2.117)

где α – коэффициент теплоотдачи. Тогда получим:

.               (2.118)

Проведя формальное преобразование (2.118) имеем:

,                  (I)     ,     (II)

,                                    

.                       (2.119)

Критерий Нуссельта Nu характеризует отношение суммарного переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью (т.е. теплоотдачей) к теплоте , передаваемой теплопроводностью.

Для подобия процессов теплообмена необходимо , , .

Кроме того, необходимым условием подобия процессов переноса теплоты является соблюдение и гидродинамического подобия. Тогда критериальное уравнение теплоотдачи имеет вид:

,                   (2.120)

или

.                      (2.121)

Критерий Эйлера в уравнение не вошел, т.к. Eu=f(Re) . Преобразование критерия Пекле дает:

.                                 (2.122)

Критерий Прандтля Pr=ν/a – характеризует подобие физических свойств теплоносителей. Для газов Pr≈1, жидкостей Pr=10 - 100 .

Для установившегося процесса теплообмена:

.                        (2.123)

При вынужденной теплоотдаче критерием Fr можно пренебречь:

.                                       (2.124)

Обычно критериальное уравнение представляют в виде степенной зависимости:

.                (2.125)

Здесь А, а_1-6 – экспериментально определяемые коэффициенты.