Й учебный вопрос.  Понятие сложного процента и примеры финансовых операций, применяемых при начислении сложных процентов

Ранее мы рассмотрели, каким образом начисление процентов происходит единственный раз, т.е. в конце (ссудный процент) или в начале (учетный процент) одногоинтервала начисления.

Рассмотрим теперь, каким образом происходит начисление процентов, если первоначальная сумма увеличивается в результате периодическогоначисления процентов в течение длительного срока, т.е. на протяжении нескольких интервалов.

Пусть задана первоначальная сумма Р и осуществляется ее наращение или рост, т.е. процесс увеличения первоначальной суммы за счет начисления процентов.

 S – наращенная (будущая) сумма;

 n – количество интервалов начисления процентов;

 i – ставка ссудного процента, по которой проценты начисляются в конце каждого отдельного интервала.

Тогда простые ссудные проценты вычисляются следующим образом:

1) За один интервал

где  – сумма процентов, начисленных за единицу времени.

2) За несколько интервалов

где  – сумма процентов, начисленных за весь срок (период) начисления; т.е. за n интервалов начисления процентов.

Процесс наращения суммы денежных средств, таким образом, за счет начисления простых процентов выглядит, как арифметическая прогрессия и может быть представлен в виде последовательности: P; P + Pi; P + 2Pi; P + 3Pi, и т.д.

В общем виде процесс наращения суммы денежных средств за счет начисления простых процентов, таким образом, имеет вид:

В формуле (10) используются обозначения:

 - это сумма процентов, начисленных за n интервалов;

- полная наращенная сумма денежных средств, полученная за n интервалов;

n – количество интервалов начисления процентов;

P – первоначальная сумма денежных средств;

I – ставка ссудного процента.

Такой формулой (10) выражается суть практических финансовых расчетов, связанных с исчислением:

- суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты;

- размера срочного вклада с простыми процентами.

Пример 4.Банк выдал ссуду 100000 рублей на 2 года под 20% годовых. Определить подлежащую возврату сумму, если простой процент начисляется каждый год, а долг гасится единовременным платежом.

Решение:

 руб.

Однако в финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием сложных процентов.

Принципиальное отличие сложных процентов от простых в том, что база для исчисления процентного платежа (дисконта) меняется на протяжении всего срока финансовой операции за счет периодического присоединенияначисленного ранее дохода к первоначальной базе (т.е.капитализации дохода), в то время как база при использовании простых процентов остается неизменной.

Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.Процедуру присоединения начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называют капитализацией процентов или реинвестированием.

Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денежных средств осуществляется с ускорением (рисунок 1).

Рис. 1. Графики начисления простых и сложных процентов

Как правило, сложные проценты применяются в средне- и долгосрочных финансовых операциях.

Но в любом случае, если начисленные проценты (например, по вкладу) капитализируются, расчеты итоговой наращенной суммы следует вести по формулам сложных процентов, а также при:

ü исчислении возросшей на проценты суммы задолженности, если проценты начисляются и присоединяются к основной сумме долга;

ü неоднократном учете ценных бумаг (учете и переучете на одинаковых условиях);

ü определении арендной платы при лизинговом обслуживании;

ü оценке бескупонных облигаций;

ü определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции;

ü дисконтировании денежных сумм за ряд периодов времени в простом проектном анализе.

Исчисление эффективности операций, по которым проценты регулярно выплачиваются(не капитализируются), следует вести также по формуле сложного процента, исходя из возможности реинвестирования дохода на прежних условиях.

В практике при инвестировании денежных средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию полученных на каждом этапе наращения средств.

Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае (формула (11):

                                            (11)

где i – ставки, по которым производится реинвестирование.

Если периоды начисления и процентные ставки не изменяются во времени, то формула имеет вид:

,                                        (12)

где m – количество ежегодных реинвестиций;

- наращенная сумма, рассчитанная путем начисления сложных процентов;

 - первоначальная сумма вложенных средств;

n - количество интервалов начисления процентов в течение одного года.

Пример 5.Смирнов Е.Н. положил 100000 рублей 1 марта на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза?

Решение:

 руб.

(если расчет выполнен при начислении точных процентов с точным числом дней)

или

 руб.

(если расчет выполнен при начислении обыкновенных процентов с приближенным числом дней).

Выведем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты), т.е. применяется сложная годовая ставка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам:

Р – первоначальный размер долга (ссуды, кредита и т.д.);

S_с –наращенная сумма (по ставке сложных процентов);

п – количество интервалов начисления (т.е. число лет наращения).

Ставку наращения по сложным процентам обозначим как i_с. В тех случаях, когда одновременно речь идет о простых и сложных процентах, для ставки простых процентов будем применять подстрочный индекс «n».

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р×(1 + i).

К концу второго года она достигнет величины Р×(1 + i) + Р×(1 + i) = Р(1 + i)² и т.д.

В конце n-го года наращенная сумма будет равна

Выражение (1+i_с)ⁿ называют коэффициентом (множителем) наращения по сложным процентам. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, тысячи и т.д.).

Пример 6.Какой величины достигнет долг, равный 100000 рублей, через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

Решение:

 руб.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров – i и n.Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Данная формула получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах.

Однако ее можно применять и при других периодах начисления. В этих случаях i – ставка за период начисления, n–число таких периодов.

Например, если i – ставка за полугодие, то n – число полугодий и т.д., тогда используется следующий расчет (пример 7).

Пример 7. Заемщик взял в долг 50000 рублей, сроком на 3 года, с начислением процентов каждые полгода по ставке сложных процентов в размере 16% годовых. Сколько он должен выплатить по окончании срока?

Решение:

Полугодовая процентная ставкасоставляет половину годовой процентной ставки, т.е. i= 0,16/2=0,08 (8%). Количество интервалов начисления процентов равно 6(число полугодий).Тогда