Свойства корреляционной функции

1. Аргументы корреляционной функции можно менять местами. Это очевидно из определения корреляционной функции.

2.Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого не меняет корреляционной функции, то есть: .Действительно, каждый из множителей, стоящий в определении корреляционной функции не меняется при добавлении неслучайной функции, а значит и сама корреляционная функция не изменится. Здесь мы использовали 1-е и 3-е свойства математического ожидания случайной функции.

3. Неслучайный множитель с (t) можно следующим образом выносить за знак корреляционной функции: . Действительно, используя свойство 2 математического ожидания случайной функции из каждого множителя в определении корреляционной функции можно вынести неслучайную функцию за скобку. В итоге и появляется множитель перед знаком корреляционной функции.

3. Следует из аналогичного свойства для корреляционного момента.

Наряду с корреляционным моментом вводился коэффициент корреляции, который делал безразмерной корреляционный момент в случае, когда случайная величина имела размерность. Введем по аналогии нормированную корреляционную функцию.

Нормированной корреляционной функцией случайной функции X (t) называется функция:

 .

Замечание. Нормированная корреляционная функция обладает свойствами 1 и 2 корреляционной функции. Свойство 3 запишется в виде:

Здесь использована функция:

 Свойство 4 запишется в виде: . При Доказательство всех свойств нормированной корреляционной функции очевидно. Вероятностный смысл нормированной корреляционной функции, аналогично коэффициенту корреляции, состоит в том, что чем ближе модуль нормированной корреляционной функции к единице, тем более сильная связь между сечениями случайной функции, чем ближе модуль к нулю — тем эта связь слабее.

Пример 1.2 Найти корреляционную функцию случайной функции , где X — случайная величина с MX = 3 и DX = 2. Используя свойства корреляционной функции случайной функции, рассмотренные выше, имеем: .

Взаимная корреляционная функция двух случайных функций

Корреляционная функция была введена для возможности оценить зависимость сечений одной случайной функции. Когда требуется оценить зависимость двух случайных функций, вводят понятие взаимной корреляционной функции. При этом часто просто корреляционную функцию (одной случайной функции) называют автокорреляционной функцией.

Взаимной корреляционной функцией случайных функций X(t) и

Y (t) называют корреляционный момент случайных величин, соответствующих двум сечениям двух случайных функций при значениях аргумента t1 и t2, то есть: .

Коррелированными называют две случайные функции, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю.

Некоррелированными называют две случайные функции, если их взаимная корреляционная функция равна тождественно нулю.