Свойства дисперсии случайной функции

1.Дисперсия всегда не отрицательна, то есть: .

2.Дисперсия неслучайной функции с (t) равна нулю: .

3.Неслучайный множитель с (t) можно следующим образом выносить за знак дисперсии: .

4. Дисперсия суммы случайной и неслучайной функций равна дисперсии случайной функции, то есть: .

Все сформулированные свойства доказываются на основе аналогичных свойств дисперсии случайной величины и определения дисперсии случайной функции, которое, фактически, сводит это понятие к понятию дисперсии случайной величины.

Пример 1.1  Найти математическое ожидание и дисперсию случайной функции , где X — случайная величина с MX = 3 и DX = 2.Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной функции, имеем: , .

Корреляционная функция случайной функции

Математическое ожидание и дисперсия случайной функции определены на основе закона распределения случайной величины, которая есть сечение случайной функции при некотором значении аргумента t. И хотя так сделано для всех возможных значений t, тем не менее математическое ожидание и дисперсия характеризуют случайную величину только при одном значении аргумента и не учитывают, как связаны между собой значения случайной функции при разных значениях аргумента. Для того, чтобы описать эту зависимость, вводят понятие корреляционной функции.

Корреляционной функцией случайной функции X(t) называют корреляционный момент случайных величин, соответствующих двум сечениям при значениях аргумента t1 и t2.

Замечание. При t1 = t2 корреляционная функция равна дисперсии: .