Свойства математического ожидания случайной функции

Основы теории случайных функций

Определение. Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента, которая при каждом значении аргумента является случайной величиной. Будем обозначать случайные функции по аналогии с обозначением случайных величин X (t), Y (t) в которых аргумент t подчеркивает, что это именно случайная функция, а не просто случайная величина.

Пример 1 Случайной функцией будет скорость полета снаряда как функция неслучайного аргумента — времени. Действительно, два одинаковых снаряда выпущенные из одного и того же орудия будут в течение своего полета иметь различную зависимость скорости от времени, так как на движение оказывает влияние множество неконтролируемых факторов, таких как сила и направление ветра.

Пример 2 Случайной функцией будет диаметр нити в катушке как функция расстояния от начала нити. Действительно, две одинаковых нити, даже изготовленные на одном и том же станке, не будут иметь совершенно одинаковых характеристик.

Пример 3 Случайной функцией будет, например, произведение случайной величины на некоторый неслучайный аргумент: . При некотором фиксированном значении аргумента случайная функция становится случайной величиной (сечение случайной функции ). Таким образом, случайная функция может рассматриваться как совокупность случайных величин для всех значений аргумента. С другой стороны, для некоторой конкретной ситуации, которая произошла, мы имеем неслучайную функцию. Если повторить тот же процесс, то функция уже будет другой. В таких случаях обычно говорят о реализации случайной функции и таким образом случайную функцию можно рассматривать как совокупность всех возможных ее реализаций.

Математическое ожидание и дисперсия случайной функции

Для максимально полного описания случайной величины мы вводили понятие закона распределения. Закон распределения мы вводили и для совокупности двух случайных величин, причем этот закон не сводился к произведению законов распределения каждой из случайных величин в отдельности. В случае случайных функций такое описание было бы слишком сложным, поскольку закон распределения понадобился бы для совокупности всех значения аргумента, который может быть непрерывной величиной. Для менее полного описания случайных величин вводились понятия математического ожидания, дисперсии и корреляционного момента. Рассмотрим эти понятия применительно к случайным функциям.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называют функцию MX (t), значение которой при каждом значении аргумента t есть математическое ожидание случайной величины — сечения X (t).

Замечание. Для нахождения математического ожидания необходим только закон распределения для каждого значения t, а не закон распределения для совокупности всех значений t.

Свойства математического ожидания случайной функции

1.Математическое ожидание неслучайной функции c (t) равно самой неслучайной функции: .

2.Неслучайный множитель c (t) можно выносить за знак математического ожидания, то есть: .

3.Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий, то есть: .

Все сформулированные свойства доказываются на основе аналогичных свойств математического ожидания случайной величины и определения математического ожидания случайной функции, которое, фактически, сводит это понятие к понятию математического ожидания случайной величины.

Дисперсией случайной функции X(t) называют функцию DX (t), значение которой при каждом значении аргумента t есть дисперсия случайной величины — сечения X (t).

Замечание. Для нахождения дисперсии необходим только закон распределения для каждого значения t, а не закон распределения для совокупности всех значений t.

Среднеквадратичным отклонением случайной функцииX (t) называют функцию .

Замечание. Среднеквадратичное отклонение вводится по аналогии со случайными величинами и дает величину размерности случайной функции, в отличие от дисперсии, которая имеет размерность квадрата случайной функции.