Излучения и волны). Как изменится температура Земли, если Солнце всё покроется пятнами?

Решение. Температура солнечных пятен равна 4700 К, а температура фотосферы Солнца 6000 К, значит, светимость Солнца изменится в (6000 : 4700)⁴ = 2,66 раза (исходим из определения светимости как количества энергии, которое излучает тело в космическое пространство за секунду). Значит, на единицу поверхности Земли будет поступать энергии от Солнца в 2,66 раз меньше. Сейчас средняя температура Земли 288 К, следовательно, снизившись в раз, она станет равной 288 К : 1,28 = 225 К, или –48° С.

6 (Квантовая механика). В осетинском сказании о нартах говорится: Свершилось вдруг неслыханное чудо: Взошли два солнца в небе изумрудном… И треснула тогда земля от жара, охваченная солнечным пожаром.

Как изменится температура Земли, если на небе будут светить два Солнца?

Решение. Пусть L – светимость Солнца, r – расстояние до Земли от Солнца. Тогда на единичную площадку, расположенную перпендикулярно солнечным лучам на Земле, падает энергия Эта площадка поглощает солнечное излучение и переизлучает его, нагреваясь до температуры, определяемой соотношением E = σT⁴. Поскольку светимость Солнца, по определению, есть количество энергии, которое оно излучает в космическое пространство за 1 с, то L = 4πR₀²σ T₀⁴, откуда Величина А – альбедо, которое указывает, какая часть солнечной энергии отразилась от поверхности планеты (1–А – это доля поглощённой энергии). Но если на небе будет светить n Солнц, то количество энергии, доходящее от них на Землю, увеличится тоже в n раз, и температура станет равной а отношение температур T/T_n изменится в раз.

Если температура Земли в подсолнечной точке равна 295 К, то при двух солнцах она станет 351 К, т.е. почти на 60 К выше.

Примечание. Возможно более простое решение, без вывода общей формулы. Для этого запишем выражения для энергий излучения единичных площадок: E = σT₁⁴ и 2E = σT₂⁴, – и получим

Механика. Движение по окружности). Во время полёта к будущему месту обитания представителей земной цивилизации космонавты совершили вынужденную посадку на планете. После ремонта они обратились к компьютеру и узнали, что горючего у них хватит, чтобы развить скорость 4 км/с. Смогут ли они покинуть планету, если её масса и размеры в 10 раз меньше земных?

Решение. Следует определить вторую космическую скорость для этой планеты по формуле и сравнить её со скоростью υ = 4 км/c. Если υ > υ_II, то дальнейшее путешествие возможно. Подставляя числовые данные, получим, υ_II = 11,2 км/с, так что космическим путешественникам надолго придётся задержаться на планете.

Механика). На экваторе Луны установили башню высотой 300 м для изготовления шариков идеальной сферической формы. Капельки жидкого металла будут вытекать из сопла аппарата и падать отвесно, застывая. Приёмное устройство дробинок инженеры устроили точно под соплом. Когда всё было готово, то, к своему удивлению, они обнаружили, что дробинки туда не попадают. Как следует изменить положение приёмника готовой продукции? Ускорение свободного падения на Луне 1,62 м/с.

Решение.Из-за вращения Луны падающие тела смещаются к востоку (в сторону её вращения). Смещение точки А за 1 с падения найдём как разность скоростей движения точек А и С, т.е. где R и P – соответственно радиус Луны и период её вращения.

Осталось найти время падения дробинки с высоты 300 м на Луне (по формуле s = gt²/2) : t = 19 с.

Значит, приёмник дробинок надо перенести на 1,9 см/c · 19 c = 36,5 см.

Механика). Звезда Плейона из рассеянного скопления Плеяды вращается в 100 раз быстрее Солнца. Температура звезды около 13 000 К, а светимость почти в 200 раз больше солнечной. Не теряет ли она вещество из области экватора?

Решение. Определим размеры звезды, используя данные о светимости и температуре. Исходим из определения светимости как общего количества энергии, которое звезда излучает в космическое пространство за 1 с: L = 4πR²σ T⁴, где 4πR² – площадь поверхности звезды, σ T⁴ – количество энергии с единицы поверхности (закон Стефана–Больцмана): 200R_C² = R² (13 000/5780)⁴, где 5780 К – температура Солнца. Отcюда R = 2,8R_C.

Скорость вращения Солнца на экваторе – около 2 км/с (радиус 690 000 км, υ = 2πR : 25 сут), а скорость вращения Плейоны 400 км/с. Массу звезды найдём по соотношению масса–светимость lgL = 3,9 lgM, подставив числовые данные: lg200 = 2,3 = 3,9 lgM ⇒ М = 3,9M_C.

Запишем отношение силы тяготения к центробежной силе для тела на экваторе звезды:

Если это отношение больше 1, то истечения вещества нет, если меньше 1, то звезда теряет вещество. Подставляя числовые данные, получаем, что отношение равно 2, значит, сила тяготения больше центробежной, и истечения вещества нет.

Квантовая механика). Инопланетяне сели на одну из планет Солнечной системы. Через некоторое время они обнаружили, что температура планеты в той точке, где Солнце находится в зените, меняется от 560 до 690 К. Определите эксцентриситет орбиты. Какая планета имеет такую орбиту?

Решение. Температура планеты определяется количеством энергии, которое падает на единицу поверхности, а это количество обратно пропорционально квадрату расстояния до Солнца. Более высокая температура должна соответствовать и более близкому расстоянию планеты от Солнца Q= а_ср (1 – е), где е – эксцентриситет. Самая низкая температура соответствует максимальному расстоянию q = а_ср (1 + е).

Используя закон Стефана–Больцмана, можно записать:

Такой эксцентриситет у орбиты Меркурия, да и высокие температуры характерны тоже для него.

Механика). Экспедиция по поискам пригодной для жизни землян планеты натолкнулась на объект размером 1000 км и высадилась на нём. На планете оказалась кислородная атмосфера. Радости не было предела, поскольку и температура оказалась приемлемой – 300 К. Не огорчились ли они через некоторое время, узнав, что маятник длиной 1 м совершает одно колебание за 5 с?

Решение.Членам экспедиции следовало убедиться в том, что атмосфера планеты стабильна, т.е. что она не улетучится через небольшой промежуток времени. Для её длительного существования необходимо, чтобы средняя тепловая скорость движения молекул была в несколько раз меньше второй космической скорости для планеты (υ_т < 0,2υ_II). Зная время колебания маятника, определяем ускорение свободного падения на планете g = 1,58 м/с², затем находим массу планеты: g = GM/R² ⇒ m = 2,37·10²¹ кг, – а затем и вторую космическую скорость: υ_II = 0,56 км/с.

Средняя тепловая скорость равна 0,68 км/с, что больше υ_II, следовательно, атмосфера планеты не стабильна.