Задачи по физике с астрономическим содержанием

Одной из форм реализации межпредметных связей является решение задач астрономического содержания, по сути, являющихся физическими. Это задачи на падение тел в поле силы тяжести, вес тела, движение тел, брошенных параллельно к горизонту и под углом к нему, на вычисление первой и второй космических скоростей, распределение плотности в атмосфере с высотой и др. Можно наполнять астрономическим содержанием и задачи, связанные с зависимостью температуры кипения от давления, распространением луча света в атмосферах планет, использованием законов фотометрии и др.

Механика). За какое минимальное время можно облететь Марс?

Решение. Для этого надо двигаться с первой космической скоростью по орбите минимальной высоты (с радиусом, практически равным радиусу Марса): υ₁²= GM/R, где G – гравитационная постоянная, M и R – масса и радиус планеты соответственно. Подставляя численные значения, получим υ₁ = 3,54 км/с. Путь, равный длине окружности радиусом R, спутник пролетит за время t = 2πR/υ₁ = 6,28 · 3395/3,54 ≈ 1 ч 40 мин.

2 (Механика). Во время путешествия по Марсу космонавт обронил в небольшую впадину компас. Чтобы достать его, он бросил туда камень и определил, что до дна компас летел 3 с. В его распоряжении был прочный шнур длиной 5 м. Хватит ли длины шнура, чтобы опуститься на дно впадины? На узлы уйдёт 0,5 м. Масса Марса 6,39 · 10²³ кг.

Решение. Путь s, проходимый телом при свободном падении, равен 0,5gt², где t – время падения, а g – ускорение свободного падения. На Марсе g = GM/R² = 3,7 м/c², поэтому s = 0,5 · 3,7 · 3² м = 16,6 м. Шнура не хватит.

3 (Механика). С какого расстояния можно обнаружить наличие у Солнца планетной системы, если аппаратура у воображаемой цивилизации способна зафиксировать отклонения в положении Солнца на небе с точностью до 0,01″. Считать, что основными телами, возмущающими движение Солнца, являются Юпитер и Сатурн. Расстояния от планет до Солнца и их массы равны соответственно 5,2 и 9,5 а.е.; 1,9 · 10²⁷ и 5,7 · 10²⁶ кг.

Решение. Извне о существовании планет около Солнца можно судить по изменению положения светила среди звёзд. Эти отклонения максимальны, если планеты находятся по одну сторону от Солнца. Положение центра масс системы найдём по формуле

х_ц = (х₁m₁ + х₂m₂ + х₃m₃) : (m₁ + m₂ + m₃),

в которой индексы i = 1, 2, 3 относятся соответственно к Солнцу, Юпитеру и Сатурну, а х_i – расстояние от тела до центра Солнца. Можно принять, что х₁ = 0, поэтому х_ц= 1,15 · 10⁶ км. Расстояние r, с которого этот отрезок виден под углом в 0,01″, находится из пропорции

(360 · 3600): 0,01″ = 6,28 r : х,

т.е. искомое расстояние равно 0,77 пк. Напомним, что ближайшая к нам звезда Проксима Центавра находится на расстоянии от нас 1,3 пк. С неё нельзя обнаружить смещение Солнца.

4 (Термодинамика). Определите, на сколько повысится температура Земли, если на неё упадёт тело, масса которого равна марсианской (0,64 · 10²⁴ кг). Удельную теплоёмкость вещества Земли и Марса принять равной 4,2 · 10³ Дж/(кг · К).

Решение. Будем считать, что тело падает на Землю со второй космической скоростью, столкновение неупругое, теплоотдачей в окружающее пространство пренебрегаем. Пусть m_з и m_т – масса Земли и тела соответственно, υ_т – скорость падения тела на Землю, υ – общая скорость планет после столкновения, с – теплоёмкость вещества, ∆T – изменение температуры.

По закону сохранения импульса: m_тυ_т = (m_з + m_т )υ.

По закону сохранения энергии:

Отсюда вычисляем энергию, пошедшую на нагрев Земли: и находим, насколько нагреется Земля: ∆T = 1300 К.