Уравнения неразрывности, движения, энергии и состояния жидкости.

Рассмотрим движение жидкости в обогреваемой трубе диаметром d (рис. 8.3). Считаем жидкость химически однородной, т.е. в ней нет примесей других веществ. Для описания состояния потока жидкости необходимо определить поля температуры Т, давления р и скорости W

Т = Т (x, y, z, t);

p = p (x, y, z, t);(8.1)

W = W (x, y, z, t),

где х, у, z - координаты; t - время.

Зная поля температуры, давления и скорости, можно рассчитать характеристики теплообмена и гидродинамики (тепловой поток, гидравлическое сопротивление и т.д.).

Поля температуры, давления и скорости называются стационарными, если T, р и W не изменяются во времени, или нестационарными, если зависят от времени.

Для определения Т, р и W используются уравнения неразрывности, движения и энергии. Эти уравнения получены из основных законов физики - закона сохранения массы, закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии - с учетом специфических законов, характеризующих движение вязкой теплопроводной жидкости.

Запишем уравнения неразрывности, движения и энергии для одномерного потока (по оси z).

Уравнение неразрывности:

где ρ - плотность жидкости, зависящая от Т и р.

При стационарном движении ∂ρ/∂τ = 0 и уравнение неразрывности примет вид

Таким образом, для установившегося движения при постоянном сечении трубы f, м², и отсутствии притока (или оттока) жидкости получаем

ρw = const,                             (8.4)

т.е. массовая скорость потока ρw, кг/(м²·с), в указанных условиях есть величина постоянная.

Расход массы жидкости через трубу G, кг/с,

G = ρwf.                                  (8.5)

Уравнение движения. Выделим из потока жидкости в трубе (рис. 8.3) двумя сечениями I и II, расположенными на расстоянии dz, элементарный объем движущейся жидкости dV = fdz. Применяя к нему теорему о количестве движения (изменение количества движения материальной системы равно сумме приложенных к системе внешних сил), запишем

                                                     (8.6)

Для стационарного потока изменение количества движения dK массы жидкости, проходящей через сечение трубы l

              (8.7)

где a' - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению трубы. Для развитого турбулентного потока а' ≈ 1.

Внешними силами, приложенными к объему dV , являются силы давления потока, силы вязкостного сопротивления, силы земного притяжения. Изменение этих сил на элементе dz в проекции на ось z:

изменение силы давления

        (8.8)

изменение сил вязкостного сопротивления (сил трения, сил гидравлического сопротивления) dF_ГИДР определяется касательным напряжением s_СТ у стенки по экспериментальным данным

s_СТ = λρw²/8,

где λ - коэффициент сопротивления трения.

C учетом этого

   (8.9)

изменение сил земного притяжения (нивелирная составляющая)

                                   (8.10)

где α - угол между горизонталью и осью z (рис. 8.3).

Приравняв (8.7) к сумме (8.8), (8.9) и (8.10) и поделив обе части выражения на dz и , получим

(8.11) 

Уравнение (8.11) можно представить в виде дифференциального уравнения

(8.12)

Интегрируя уравнение (8.12) с учетом (8.4), получаем формулу для расчета перепада давления на длине трубы

где ρ_СР (аналогично w_СР) - среднеинтегральное значение плотности (скорости); w₁, w₂ - значения скорости в начале и конце участка трубы.

Выражение (8.13) обычно записывается в общем виде

где Δp_тр - сопротивление трения,

Δp_м- местное сопротивление (сопротивление входа в трубу и выхода из нее, шайб, поворотов и т.п.),

(8.14б)

где ξ_М - коэффициент местного сопротивления; Δp_УСК - сопротивление ускорения,

Δp_НИВ - нивелирное сопротивление,

для вертикальной трубы при подъемном движении среды sin α = 1, при опускном движении sin α = -1

Уравнение энергии.

К потоку жидкости на участке dz подводится теплота Q_ВН в количестве

(8.15)

где q_ВН - плотность внутреннего теплового потока, кВт/м²; П_ВН внутренний периметр трубы, м; α₂- коэффициент теплоотдачи от стенки к потоку жидкости; t_ВН - температура металла на внутренней поверхности стенки, °С; t - средняя температура жидкости, °С.

Периметр трубы можно выразить через внутренний диаметр d_ВН, м, трубы

П_ВН = πd_ВН.

В (8.15) использовано уравнение теплоотдачи в виде

Количество теплоты, переносимой потоком жидкости, изменится на отрезке трубы длиной l

∂(ρh) /∂ l = 0

где h - энтальпия жидкости, кДж/кг.

Для установившегося потока уравнение (8.15) перепишем в другом виде

(8.17)

Учитывая, что для установившегося потока ∂(ρh)/∂τ = 0, получаем из (8.15) и (8.17)

(8.18)

или

(8.19)

При q_ВН = const на участке трубы длиной dz изменение энтальпии потока жидкости

(8.20)

Обычно при расчете теплообмена в поверхностях нагрева парового котла задается (рассчитывается) тепловой поток с наружной поверхности трубы q_Н. Определение внутреннего теплового потока q_ВН с учетом аккумуляции теплоты в металле трубы определяется по формуле

(8.21)

где П_Н = πd_Н - наружный периметр трубы, м; d_Н - наружный диаметр трубы, м; с_М - теплоемкость металла трубы, кДж/(кг·К);ρ_М- плотность металла, кг/м³; f_М - площадь поперечного сечения трубы по металлу, м²; t_М - средняя температура металла (по толщине стенки) трубы в данном сечении, °С.

В (8.21) произведение

(8.22)

При стационарном режиме ∂t_м/∂τ = 0

(8.23)

т.е. плотность теплового потока на внутренней поверхности трубы больше, чем на наружной поверхности в соотношении наружного и внутреннего диаметров b = d_Н/ d_ВН .

Уравнения состояния. При решении уравнений неразрывности, движения и энергии необходимо знать такие физические параметры жидкости, как плотность ρ, теплоемкость с_р, вязкость μ, теплопроводность λ и др.

Параметры ρ, c_p, μ, λ в общем случае зависят от температуры и давления. Эти зависимости выражают уравнения состояния, которые могут быть представлены в табличном, графическом виде или в виде формул. Для реальных жидкостей уравнения состояния основываются на экспериментальных данных.

При выводе уравнений неразрывности, движения и энергии не учитываются конкретные условия, в которых осуществляются движение жидкости и процесс теплообмена. Для решения задач о движении жидкости и теплообмене к основным уравнениям необходимо присоединить ряд условий, конкретизирующих задачу. Начальные условия состоят в задании полей скорости, температуры и давления во всем объеме рассматриваемой области (в том числе и на ее границах) в начальный момент времени. Начальные условия не задаются, если рассматривается стационарная задача.Граничные условия сводятся к заданию геометрической формы области и условий движения жидкости и теплообмена на ее границах.

Совокупность основных уравнений, уравнений состояния, начальных и граничных условий составляет замкнутую систему математического описания процесса движения жидкости и конвективного теплообмена в обогреваемых трубах.