Обчислювальні витрати на ад'єктивування

Під обчислювальними витратами на виконання агрегації деякої множини значень показників (агрегованих або вхідних) до певного результуючої множини агрегатів розуміється кількість елементарних операцій підсумовування, які необхідно здійснити для одержання результуючої множини.

Позначимо витрати на виконання агрегування множини по i-му вимірі, як .

Очевидно, що

Для формування множини агрегатів A₀₁₁ у випадку із трьома простими вимірами для кожної комбінації менеджерів і місяців необхідно підсумувати вхідні значення показників по напрямку стрілки 1 (рис. 11) n_р-1 раз. Таким чином, з урахуванням того, що i(Р) =1, i(M)=2, i(T) =3 – порядкові номери вимірів, витрати на виконання агрегування від A₀₁₁до A₀₁₁ визначаються як

C(1, A₁₁₁) = (n_р - 1)n_mn_t.

Аналогічно при формуванні множин агрегатів A₁₀₁ і A₁₁₀ на підставі вихідних значень показників одержимо відповідно витрати

C(2, A₁₁₁) = n_c n_t (n_m - 1),

C(2, A₁₁₁) = n_c n_m (n_t –1).

Одержання множини A₀₀₁ можливо двома способами:

· агрегування множини A₁₀₁ по вимірі видів товару (по стрілці 4);

· агрегування множини A₀₁₁ по вимірі менеджерів (по стрілці 5);

Очевидно, що витрати на ці операції різні й рівні відповідно

C(1, A₁₀₁) = (n_р-1)n_t,

C(2, A₀₁₁) = (n_m-1)n_t.

Розглянемо розрахунок витрати на агрегування в загальному випадку з ієрархічними вимірами. Для цього використовуємо наступне твердження.

Твердження 1. Нехай існує ієрархія з l* рівнями, де n_l – кількість членів на l-ом рівні й n_l<=n_l+1, l=1…l*-1...Тоді кількість елементарних операцій підсумовування значень показника, що відповідають l+ 1-му рівню, з метою одержання агрегованх значень показника l-го рівня дорівнює

n_l+1-n_l.

У прикладі із двома ієрархічними (рис. 12) вимірами для одержання агрегованих значень показника по кожній комбінації менеджерів і місяців (А₂₂) необхідно провести агрегацію множини вхідних A₃₂ даних по часовому вимірі: від A₃₂ доА₂₂ по 1-му вимірі. Для цієї операції необхідно для кожного менеджера підсумувати значення показника по днях з метою одержання показника по місяцях (відповідно до твердження) n_1,3 - n_1,2 разів. Таким чином,

C(1, A₃₂) = (n_1,3 – n_1,2)n_2,2 = n_1,3n_2,2 - n_1,2n_2,2 = a₃₂ - a₂₂.

Аналогічно витрати на агрегацію значень показника в розрізі менеджерів і кварталів по часовому вимірі з метою одержання агрегатів тільки по менеджерах рівні

C(1, A₁₂) = (n_1,1 – n_1,0)n_2,2 = (n_1,1 – 1) n_2,2 = n_1,1n_2,2 - n_2,2 = a₁₂ - a₀₂,

Узагальнюючи вище описані приклади, можна сформулювати висновок, що при підсумовуванні множин агрегатів по i-му вимірі з l_i-го на l_i-₁ рівень необхідно для кожної комбінації зі членів поточних рівнів всіх інших m-1 вимірів провести n_i,li – n_i,li-1 елементарних операцій підсумовування. Таким чином, одержуємо

, де l_i = 1…l_i*...

Використовуючи (5а) і (6), перетворимо цю формулу в наступний вид:

(8)