Евольвента кола, її властивості та рівняння

Евольвентою кола називається крива, яку описує будь-яка точка прямої, що перекочується по колу без ковзання. Пряму, що перекочується, називають твірною або відтворюючою прямою, вона являє собою рухому центроїду, а коло, відповідно, є нерухомою центроїдою. При перекочуванні за годинниковою стрілкою дотичної прямої n-n по колу , т. К₀ вказаної прямої опише евольвенту К₀К_у (рис. 9.4). Зазначимо, що при перекочуванні даної прямої у протилежному напрямі т. К₀ опише також евольвенту,  (точніше ліву вітку евольвенти). Оскільки пряма перекочується без ковзання, справедлива рівність N_нK_y= . Наведемо також інші визначення. Геометричне місце центрів кривини якої-небудь кривої називається еволютою, а сама крива по відношенню до еволюти – розгортка або евольвента. Отже, евольвента кола є крива, центри кривини якої лежать на колі. В теорії зачеплення це коло називають основним, оскільки воно служить основою для побудови евольвенти, і позначають завжди з індексом в, тобто, r_в. Отже, основне коло – коло, евольвентою якого є профіль зуба.

Детально побудову евольвенти основного кола r_в,при перекочуванні по ньому твірної прямої n-n, розглянемо на занятті з курсового проектування при побудові картини зубчастого зачеплення.

Рівняння евольвенти. Із умови утворення евольвенти довжина відрізка К_уN_у (радіус кривини евольвенти в т. К_y) повинна бути рівна дузі, що розгортається N_yK_y= . В свою чергу, дуга ÈК₀N_у=r_в(q_у+a_у), а відрізок К_уN_у =r_в tga_у. Звідки

r_в(q_у+a_у)=r_вtga_у,

або

inv a_у=q_у=tga_у-a_у,                                (3)

де a_у – кут профілю, гострий кут між дотичною до евольвенти (до профілю зуба) у т. К_у і її радіусом вектором ОК_у; q_у – евольвентний кут – кут, утворений початковим радіус-вектором ОК₀ та біжучим радіус-вектором ОК_у. Тригонометричну функцію кута a_у – q_у=tga_у-a_у називають евольвентною функцією, позначають скорочено inv (інвалюта) та використовують при геометричному розрахунку евольвентних зубчастих коліс. Для спрощення розрахунків значення inva_у наводяться у таблицях для різних значень кута a_у.

Рис. 9.4

Будь-яка т. К_у евольвенти повністю визначається двома параметрами: радіус-вектором r_y та евольвентним кутом q_у.

Зв’язок між r_y та кутом a_у встановлюється з DN_yОК_у залежністю

r_y=r_в/соsa_у                                                       (4)

Формули (3) та (4) визначають рівняння евольвенти в полярних координатах r_y і q_у. Ці рівняння, після виключення параметра a_у, вказують на те, що евольвента повністю визначається основним колом.

 Для теорії зачеплення важливе значення мають такі основні властивості евольвенти:

- евольвента являє собою симетричну криву, що має дві вітки, які збігаються у початковій точці К₀, розміщеній на основному колі. Отже, евольвента не має точок всередині основного кола;

- точки N_у є миттєвими центрами швидкостей твірної прямої n-n і центрами кривини евольвенти у точках К_у. Отже, нормалі до евольвенти в будь-якій точці є прямі, що дотичні до основного кола у відповідних точках;

- основне коло є геометричним місцем центрів кривини евольвенти, що описують твірні прямі, тому відрізки N_уК_у є радіусами кривини евольвенти у відповідних точках К_у;

- кут профілю a_у  та радіус кривини r_y евольвенти у початковій точці К₀ дорівнюють нулю. По мірі віддалення точок евольвенти від основного кола, кут профілю збільшується, кривина евольвенти зменшується, тобто радіус кривини збільшується;

- при збільшенні радіуса основного кола евольвентний профіль поступово втрачає свою кривину і при r_в=¥ евольвента перетворюється на пряму лінію.

Отже, щоб визначити радіус кривини евольвенти (зубця) у певній точці треба провести від неї дотичну до основного кола.