Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке? Ответ обоснуйте.

Если функция U=f(x) дифференцирована в некоторый точке x=x₀, то она непрерывна в этой точке. Это условие необходимое, но недостаточное.

Доказательство: пусть функция u= f(x) дифференцирована, тогда существует =а, тогда =а+a(x), где a(x) – бмп. Тогда Dy=Dxа + Dxa(x), Dy = ( f ’(x₀) Dx +Dxa) = 0 в силу непрерывности.

30. Докажите теорему о производной суммы двух функций.

31. Докажите теорему о производной произведения двух функций.

Дайте определение дифференциала функции  в точке . Используя дифференциал, найдите приближенное значение величины:

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При Dx"0, dy=y’Dx или .

32. = , 25= x₀, 0,12=Dx => f(x)=  => f’(x)=1/10

5+0.1*0.12=5.012

33. ln(1+0,09)= ln1+1*0.09=0.09

Дайте определение эластичности функции в точке. Найдите эластичность функции  в точке :

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется предел .

E_y = (lnx)’ * x

34. , . E_y = - x / (x+1). E_y (4)= -4/5

35. , . E_y = 3^x*ln3*x / 3^x = x * ln3. E_y (5)=5ln3

Дайте определение и сформулируйте необходимое условие локального экстремума функции одной переменной. Приведите пример функции, для которой это условие выполнено в некоторой точке, но экстремум отсутствует.

Точками локального экстремума явл. точки локального максимума (минимума). Точкой локального максимума точка явл. если существует окрестность т. М_о, в которой для любой точки М(x,y) выполняется неравенство f(M)£f(M₀). Необходимое условие: если f’(x,y) имеет частные производные 1-ого порядка в точке локального экстремума M₀(x,y), то . Примером является х³, х₀=0 – точка перегиба, но не экстремума.

37. На рисунке изображен график производной  функции .

Какое из утверждений верно:

а) функция  убывает для ; нет

б) функция  возрастает для ; нет, только на х на интервале [-2; 0). Точка 0 – дочка локального максимума.

в) функция  возрастает для ; нет

г) функция  имеет локальный минимум при ; нет, максимум

д) функция  не дифференцируема при  и при . Дифференцируема, так как существует значение производной.

38. Функция  такова, что для всех действительных значений ,  и . Какой из представленных графиков может быть графиком функции ?

а)                                                               б)

в)                                                             г)

д)

Рассмотрим. значит, что ф-ция находится под Ох (то есть ф-ция приминает только отрицательные значения при любом значении аргумента). значит, что функция убывает во всех значениях своего аргумента. И, наконец,  означает, что ф-ция вогнута. Всем этим условиям соответствует только б)

39. Сформулируйте теорему Ролля. Докажите, что производная функции  обращается в нуль в некоторой точке интервала .

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a) = f(b), то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

, f(0)=0, f(4)=0. Ф-ция непрерывна и диф-ма на промежутке. В таком случае по теореме Ролля на этом промежутке существует экстремум ф-ции.

40. Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если  на интервале , то функция  постоянна на этом интервале.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), тогда существует точка с О из (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a). .  => .

41. Используя теорему Лагранжа, докажите, что если  на интервале , то функция  возрастает на этом интервале.

Пусть функция у=f(x) имеет f’(x)и.непрерывна на отрезке [a, b]; Тогда существует точка такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a).

Пусть функция у=f(x) имеет f’(x)и.непрерывна на отрезке [a, b]; Тогда существует точка такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

F'(c) > 0 ->  возрастает.

42. Функция  дифференцируема на промежутке . Известно, что ,  и .

а) Какое наименьшее количество нулей может иметь данная функция на указанном промежутке? 2 нуля (достаточно отметить точки f(-10) f(-1) и f(3) на графике чтобы это понять)

б) Существует ли такое значение , что ? Да, так как существует f(-10)=5 и f(-1)=-1. Функция непрерывна, и поэтому она должна проходить в точке f(c)=2.

в) Существуют ли на промежутке  у функции  горизонтальные касательные? Да, так как она сначала убывает, а потом возрастает. В точке смены убывания на возрастание (f’(x)=0) у функции будет горизонтальная касательная.

г) Если у функции  есть только одна точка экстремума на , будет ли она точкой максимума или минимума? Точкой минимума, так как ф-ция меняет свое поведение с убывания на возрастание.