Всякая ли неограниченная последовательность является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, однако неограниченная не обязательно является бесконечно большой. Рассмотрим следующий пример: неограниченная послед-ь 1, 2, 1, 3 .., 1, n, 1, n + 1 … не является бб, поскольку при А > 1 неравенство |Xn| > A не имеет места для всех элементов Xn с нечетными номерами.

Приведите пример двух бесконечно больших последовательностей, сумма которых является бесконечно малой последовательностью.

Две бесконечно большие последовательности, суммы которых являются бесконечно малой последовательностью. Сумма убывающей и ограниченной последовательности (1, 1/3, 1/5,…, 1/(2n-1)…) и возрастающей неограниченной последовательности (1,2,3,4,…n) является бесконечно малой последовательностью. Или пример:

Дайте определение возрастающей последовательности. Что можно сказать о пределе возрастающей последовательности, если она: а) ограничена сверху; б) не ограничена? Ответ обоснуйте.

Последовательность {X_n}называется возрастающей, если x_n < x_n+1 для всех n.

Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Геометрически это означает, что если последовательность {X_n} возрастает, и при этом ограничена сверху, то это означает, что с ростом n точки х_n на числовой оси смещаются вправо, но при этом не переходят через некоторый рубеж А. Геометрически ясно, что в этом случае числа x_n должны накапливаться к некоторому числу а, которое и будет пределом последовательности {X_n}. Следовательно, в случае б) предела у данной последовательности просто не существует.

В случае а) предел данной последовательности меньше или равен граничному члену данной последовательности.

2.Предел функции

12. Дайте определение предела функции в точке. Найдите, исходя из определения, .

Определение: число А называется пределом функции  в точке x₀, если для любой сходящейся к x₀ последовательности значений аргумента x (отличных от х₀) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

= =  = 1

13. На рисунке изображен график функции .

Существуют ли следующие пределы а) ; б) ; в) ? Дайте обоснованные ответы и найдите пределы (если они существуют).

а)  - существует, равен 3; б)  - не существует, точка разрыва 2 рода: правост и левост пределы равны +бесконечности; в) предел существует, функция сходится к данной точке, предел равен 1