Докажите, что произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Функции одной переменной

Предел последовательности

1. Дайте определение предела последовательности. Докажите, исходя из определения, что .

Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа ε существует такой номер  (зависящий от выбранного ε), начиная с которого все члены последовательности отличаются от  по модулю меньше, чем на ε:

Имеем .

Взяв произвольное , составим неравенство  и выясним, для каких n оно справедливо. Подставим в это неравенство  и решим его относительно n.

Т.о., приняв за  ближайшее к  справа натуральное число, будем иметь  для всех , что означает справедливость равенства

Докажите единственность предела сходящейся последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:(от противного)

Пусть

Выберем столь малые окрестности a и b, чтобы они не имели общих точек.

Т.к. , то все , начиная с некоторого номера  попадут в выбранную окрестность

Т.к. , то все , начиная с некоторого номера  попадут в выбранную окрестность .

Пусть . Тогда  (все ) должны принадлежать обеим окрестностям, что невозможно, т.к. они пересекаются. Возникает противоречие. Следовательно, существует только один предел сходящейся последовательности.

Докажите ограниченность сходящейся последовательности. Приведите пример ограниченной последовательности, не имеющей предела.

Множество чисел X называется ограниченным, если существует такой отрезок  числовой оси, который содержит все числа из X. Или (что эквивалентно): множество X ограничено, если существует такое , что для всех чисел  из X имеем

Доказательствовторого свойства пределов:

Пусть . Положим  и найдем номер , начиная с которого , т.е. для .

Отсюда следует  для всех  Заменим отрезок  таким (быть может большим) отрезком  чтобы в него попали не только числа , , но и все числа . Тогда будем иметь  для всех , что означает ограниченность множества .

Пример огр п-ти без предела: X_n=(-1)ⁿ, т.е X_n={-1; 1; -1; 1….}

Дайте определение последовательности, ограниченной сверху. Может ли предел последовательности, ограниченной сверху числом 5, быть равным: а) 4,99; б) 5,01? Ответ обоснуйте.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое  (м), что любой элемент  удовлетворяет неравенству .

a) Число 4,99 может быть пределом данной ограниченной последовательности, т.к.

b) Аналогично, 5,01 не может быть пределом, т.к. .

Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся последовательностей? Приведите пример расходящихся последовательностей, произведение которых сходится.

Произведения двух сходящихся последовательностей  и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов соответствующих последовательностей. Пусть  – две сходящиеся последовательности, причем

, , тогда .

Пример расходящихся последовательностей, произведение которых сходится

Дайте определение бесконечно малой последовательности. Приведите примеры бесконечно малых последовательностей, отношение которых: а) является бесконечно малой последовательностью; б) не является бесконечно малой последовательностью.

Последовательность  называется бесконечно малой, если
.

}  и  – бесконечно малые последовательности, т.к.

 и  – бесконечно малые последовательности, т.к.

Докажите, что произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность есть бесконечно малая. Доказательство: Пусть  – ограниченная, а - бесконечно малая последовательность. В силу ограниченности последовательности существует такое число А, что любой элемент ее удовлетворяет неравенству . Поскольку последовательность  бесконечно малая, для положительного числа  существует такой номер N, что при всех  

 . Т.о.  – бесконечно малая.

8. Дайте определение бесконечно большой последовательности. Что означает запись: “ ”?

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует такой номер N, что при  (для всех элементов последовательности) выполняется неравенство. .

 означает, что для любого A>0, сущ. N, для любого n ≥ N: |Xn| > A.