Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если последние существуют.

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов

В силу Теоремы 1 О пределах функции ( функция f(x) может иметь в точке х₀ только один предел) где , тогда ; т.о

15. Докажите, что функция  не имеет предела в точке .

Предела функции не существует т.к если рассматривать предел, то в нем 1/0 = ∞. А сам график синуса ограничен на отрезке [-1;1]. Таким образом, если рассматривать график синуса, то при стремлении его к бесконечности, значение функции может быть любым в промежутке от -1 до 1. Т.е. значение неопределенно.

16. Дайте определение предела функции при . Докажите, что функция  не имеет предела при .

Пределом функции f(x) при x→+∞ называют число а, если для любой послед-и {Xn} значений аргумента, послед-ь {f(Xn)} значений функции сходится к пределу а: lim (x→∞) f(x) = a.f(x) = cosx => lim_x→+∞cosx=(-1;+1), что невозможно. Вообще значения функции косинус – ограниченная последовательность, не сходящаяся.

17. Дайте определения односторонних пределов функции в точке. Что можно сказать об односторонних пределах функции  в точке , если ? Ответ обоснуйте.

lim (x→a+0) f(x) = b; lim (x→a-0) f(x) = c

Число b называется правым пределом f(x) в точке А, если для любой послед-и значений аргумента Xn, сходящихся к А и состоящих из чисел больше А (справа), соответствующая послед-ь значений функции сходится к числу b. Число сназывается левым пределом f(x) в точке А, если для любой послед-и значений аргумента Xn, сходящихся к А и состоящих из чисел меньше А (слева), соответствующая послед-ь значений функции сходится к числу с.

В случаеLim (x→ х₀) f(x)=aодносторонние пределы тоже устремлены к a. Обоснованием является существование данного предела в точке. Теорема: Функция f(x) имеет предел в точке x₀ тогда и только тогда, когда в этой точке сущ. пределы слева и справа (они должны быть равны).

18. Существует ли ? Ответ обоснуйте.

Нет, не существует.

Он бы имелся, если бы левый и правый пределы в точке 0 не только существовали, но и были равны. А в данном случае левосторонний предел при сокращении получается равен -1, а правосторонний 1.

3.Непрерывность функции

19. Дайте определение функции, непрерывной в точке. Найдите значение , при котором функция  является непрерывной в точке .

Функция f(x), определённая в некоторой окрестности точки x₀, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x₀ существует и равен значению в этой точке, т.е.

В функции, которая нам дана, можно представить x²-16 как (х-4)(х+4), тогда (x-4) могло бы сократиться и в числителе, и в знаменателе, и осталось просто (x+4), тогда при x=4 дроби приняла бы значение 8. Но мы этого делать не имеем права, т.к. при подстановке x=4 в исходное выражение получается деление на ноль. Поэтому нужно, чтобы C принимало то значение, которое дробь могла бы принять при сокращении, т.е. “заполнить” эту точку разрыва. Поэтому C=8

20. Дайте определение точки разрыва функции. Приведите примеры функций, для которых  является: а) точкой разрыва I рода со скачком, равным 2; б) точкой разрыва II рода.

1) Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не является непрерывной в точке x₀, т.е. в любом из трёх случаев:

· функция не определена в x0

·  не существует

·

a)  – разрыв I рода в точке 0 со скачком, равным 2.

b)  – разрыв II рода в точке 0.

21. Сформулируйте теорему о существовании нуля непрерывной функции. Используя эту теорему, докажите, что уравнение  имеет корень на отрезке .

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает значения разных знаков на концах этого отрезка, то существует точка c  (a;b), такая, что f(c)=0 (т.е. график пересекает ось абсцисс).

Каждая из функций е^x-1, (x+1) и ln(x+1) непрерывна на отрезке [0;1], поэтому по свойствам непрерывных функций,  также непрерывна на этом отрезке. При x=0 функция принимает значение , что больше нуля. При x=1 функция принимает значение 1 – 2ln(2), что меньше нуля. Тогда, согласно теореме, существует такая точка c, в которой значение функции равно нулю, что и требовалось доказать.

22. Функция  определена следующим образом . а) Существует ли ? б) Будет ли функция  непрерывной в точке ? Дайте обоснованные ответы.

а) да, существует, находится из 1-го выражения, т.к в точке б значение ф-ции может быть или не быть равно значению предела

б) Функция будет непрерывна при б=0, так как тогда зн-е ф-ции будет равно зн-ю предела.

23. На рисунке изображен график функции .

В какой из точек графика (при , , ,  или ) функция будет непрерывной, но не дифференцируемой. Ответ обоснуйте.

Из рисунка видно, что точки разрыва (не явл непрерывной): а (2 рода), б (устранимая), д (2 рода). Ф-ция непрерывна в с и е, причем с – точка минимума (то есть производная равна 0). Тогда методом исключения выделяем е.

Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения, производную функции  в точке :

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

24. ,  - произвольное число. f ’(x)=3х2

25. ,  - произвольное число. f ’(x)=cos x

26. , . f ’(x)=1/(2 ), f ’(x0)=1/6

27. , . f ’(x)= -2 / x3, f ’(x0) = -2

28. , . |x| не имеет производной в х0=0